グラフの移動について

関数 $y=f(x)$ のグラフ $C$ を、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動したグラフ $C'$ は、一般にどのような関数で表されるのだろうか。

平行移動について

$C$ 上の点を $\text{P}(u,~v)$ が、平行移動によって $C'$ 上の点 $\text{Q}(x,~y)$ に移動したとすると \[x=u+p~,~y=v+q\] つまり、$u=x-p$、$v=y-q$ である。

ここで、$\text{P}(u,~v)$ は曲線 $C$ 上の点であるから、$v=f(u)$ を満たすので $x$、$y$ は \[y-q=f(x-p)\] を満たす。

関数 $y=f(x)$ のグラフ $C$ を、$x$ 軸に関して対称に移動したグラフ $C_x$ を表す関数について考える。

$x$ 軸に関する対称移動

$C$ 上の点を $\text{P}(x,~v)$ が、$x$ 軸に関して対称に移動することによって $C_x$ 上の点 $\text{Q}(x,~y)$ に移動したとすると \[y=-v\] つまり、$v=-y$

ここで、$\text{P}(x,~v)$ は曲線 $C$ 上の点であるから、$v=f(x)$ を満たすので $x$、$y$ は \[-y=f(x){\Leftrightarrow}y=-f(x)\] を満たす。

また、関数 $y=f(x)$ のグラフ $C$ を、$y$ 軸に関して対称に移動したグラフ $C_y$ を表す関数について考える。

$y$ 軸に関する対称移動

$C$ 上の点を $\text{P}(u,~y)$ が、$x$ 軸に関して対称に移動することによって $C_y$ 上の点 $\text{Q}(x,~y)$ に移動したとすると \[x=-u\] つまり、$u=-x$

ここで、$\text{P}(u,~v)$ は曲線 $C$ 上の点であるから、$y=f(u)$ を満たすので $x$、$y$ は \[y=f(-x)\] を満たす。

最後に、関数 $y=f(x)$ のグラフ $C$ を、原点に関して対称に移動したグラフ $C_0$ を表す関数について考える。

原点に関する対称移動

$C$ 上の点を $\text{P}(u,~v)$ が、原点に関して対称に移動することによって $C_y$ 上の点 $\text{Q}(x,~y)$ に移動したとすると \[x=-u~,~y=-v\] つまり、$u=-x$、$v=-y$ である。

ここで、$\text{P}(u,~v)$ は曲線 $C$ 上の点であるから、$v=f(u)$ を満たすので $x$、$y$ は \[-y=f(-x){\Leftrightarrow}y=-f(-x)\] を満たす。