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y=ax2+bx+c のグラフ

最後に、一般の2次関数 y=ax2+bx+c のグラフについて考えてみよう。たとえば y=2x2+4x−1 のグラフを描くには、次のように式を変形（平方完成 (completing square) という）してから考える。 \begin{align} y=&2x^2+4x-1\\ =&2\left\{x^2+2x\right\}-1\\ &\quad\blacktriangleleft x^2の係数でくくる\\ =&2\left\{(x+1)^2-1\right\}-1\\ &\quad\blacktriangleleft 平方の形にする（平方完成）\\ =&2(x+1)^2-2-1\\ &\quad\blacktriangleleft \{~~\}をはずす\\ =&2(x+1)^2-3\\ &\quad\blacktriangleleft 定数項を整理する \end{align} こうすると、既に学んだ『y=a(x−p)^2+q のグラフ』に帰着され、\eqref{y=ax^2+bx+cnogurafu} のグラフは、y=2x^2 のグラフを x 軸方向に -1、y 軸方向に -3 だけ平行移動した放物線になるとわかる。

吹き出し無題

平方完成は慣れないうちは難しく感じるかもしれない。もう一度、ポイントとなるところに焦点をあててみる。 \begin{align} &x^2+\bigcirc{x}\\ =&\left(x+\dfrac{\bigcirc}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\bigcirc}{2}\right)^2 \end{align} あとは、x^2 の係数に注意しながら、定数項を計算すればよい。

y＝ax^2+bx+c のグラフ

y＝ax^2+bx+cのグラフ

$y＝ax^2+bx+c$のグラフ

2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフは \begin{align} y=&ax^2+bx+c\\ =&a\left\{x^2+\dfrac{b}{a}x\right\}+c\\ &\quad\blacktriangleleft x^2の係数でくくる\\ =&a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right\}+c\\ &\quad\blacktriangleleft 平方完成\\ =&a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c\\ &\quad\blacktriangleleft \{~~\}をはずす\\ =&a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\ &\quad\blacktriangleleft 定数項を整理する \end{align} と変形することにより、軸が x=-\dfrac{b}{2a} で、頂点が \left(-\dfrac{b}{2a},~-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right) の放物線となることがわかる。

グラフを描くときは、y 軸との交点の y 座標（右のグラフの場合は c）を書く習慣をつけよう。これは、x=0 のときの y の値である

吹き出し無題

これは暗記するようなものではなく、毎回計算して導き出すものである。

ここまで見たように、2次関数 y=f(x)=ax^2+bx+c のグラフは放物線になる。

そこで、「2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフ」のことを「放物線 y=ax^2+bx+c」ということがある。

このときの y=ax^2+bx+c は、放物線の方程式 (equation of parabola) といわれる。

放物線を描く～その２～

次の放物線を、頂点の座標を求めてから描け。

  1. y=x^2−2x+3
  2. y=−3x^2+6x
  3. y=2x^2+8x+5
  4. y=-2x^2-6x-\dfrac{5}{2}

  1. $y=x^2−2x+3$
    平方完成すると \begin{align} y=&x^2-2x+3\\ =&(x-1)^2-1+3\\ =&(x-1)^2+2 \end{align} となるから、頂点が (1,~2) で、下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
  2. $y=−3x^2+6x$
    平方完成すると \begin{align} y=&-3x^2+6x\\ =&-3\left\{x^2-2x\right\}\\ =&-3\left\{(x-1)^2-1\right\}\\ =&-3(x-1)^2+3 \end{align} となるから、頂点が (1,~3) で、上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
  3. $y=2x^2+8x+5$
    平方完成すると \begin{align} y=&2x^2+8x+5\\ =&2\left\{x^2+4x\right\}+5\\ =&2\left\{(x+2)^2-4\right\}+5\\ =&2(x+2)^2-3 \end{align} となるから、頂点が (-2,~-3) で、下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
  4. $y=-2x^2-6x-\dfrac{5}{2}$
    平方完成すると \begin{align} y=&-2x^2-6x-\dfrac{5}{2}\\ =&-2\left\{x^2+3x\right\}-\dfrac{5}{2}\\ =&-2\left\{\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\right\}-\dfrac{5}{2}\\ =&-2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+2 \end{align} となるから、頂点が \left(-\dfrac{3}{2},~2\right) で、上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。