球の体積

球の体積について考えるため、まず次の例題を解いてみよう。

球と円柱

球と円柱

球と円柱

右の図において、円柱から半球 $\text{T}$ を除いた図形を $\text{S}$ とする。$0\lt{x}\lt{r}$ のとき

  1. 高さ $x$ の水平面で $\text{S}$ を切ったときの、切り口に現れる小さい方の円の半径を求めよ。
  2. 高さ $x$ の水平面による、$\text{S}$ の断面積を求めよ。

  1. 1の図
    1の図

    底面に垂直な平面で立体を半分に切れば、左の断面図となる。高さ $x$ の平面による半球 $\text{T}$ の切り口は、左図の線分 $\text{HA}$ を半径とした円になるので、線分 $\text{HA}$ の長さを求めればよい。

    よって、求める長さは \[\text{HA}=\sqrt{\text{OA}^2-\text{OH}^2}=\boldsymbol{\sqrt{r^2-x^2}}\]

  2. 2の図
    求める面積は「高さ $x$ の平面による円柱の切り口の面積」（これは半径 $r$ の円）から「高さ $x$ の平面による半球 $\text{T}$ の切り口の面積」（これは半径 $\sqrt{r^2-x^2}$ の円）を引けばよいので、求める面積は \begin{align} &\pi r^2-\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\\ =&\pi r^2 -\pi(r^2-x^2)\\ =&\boldsymbol{\pi x^2} \end{align}

（注）

一般に、2つの立体について、どの高さに対する切り口の面積も等しいならば、これら2つの立体の体積は等しいことが知られている。上の例題において、底面の半径 $r$、高さ $r$ の円錐を逆さにしたものを $\text{U}$ とすると、高さ $x$ における $\text{U}$ の断面積は $\text{S}$ と等しく ${\pi}x^2$ になる、つまり、$\text{S}$ と $\text{U}$ は体積が等しく \begin{align} &（半球\text{T}の体積）\\ =&（円柱の体積）-（\text{U}の体積）\\ =&\pi r^3 -\dfrac{1}{3}{\pi}r^3=\dfrac{2}{3}{\pi}r^3 \end{align} と計算できる。この $\text{T}$ の体積を $2$ 倍して、半径 $r$ の球の体積 $\dfrac{4}{3}{\pi}r^3$ を得る。

球の体積

半径 $r$ の球の体積 $V$ は、$V=\dfrac{4}{3}{\pi}r^3$ である。