自然数

ものの数を数えるとき、表現の仕方はいろいろだが、私たちは順序をつけて考えている。 たとえば

日本語ならば

一、二、三、四、・・・

英語ならば

one、two、three、four、・・・

ドイツ語ならば

ein、zwei、drei、vier、・・・

フランス語ならば

un、deux、trois、quatre、・・・

愛着ある飼い猫のように、その個性が重要な場合には、数を数えることに意味は無い。 しかし、$100$ 匹の羊を放牧するときのように、ある程度心理的距離のあるものを管理する場合には、数を数えることには大きな意味がある。数を数えておかないと、夕刻、羊を小屋にしまうとき、迷子の羊がいてもわからなくなってしまう。

ものの数を数える行為によって生まれる数、$1$、$2$、$3$、$\cdots$ を自然数 （natural number）という。

たとえば、次の数は全て自然数である。 \[1,~3,~42,~100,~23789\] 私達がすでに使っている $\dfrac{2}{3}$ や $-3$ などは、'数'ではあるが自然数ではない。

自然数の様子を図で見えるようにするため、以下のようなことを考えよう。

まず、向きのある直線（下図では右向き）上に原点 $\text{O}$ をとり、適当な長さをもった線分を、原点 $\text{O}$ からすきまが無いように直線の向きと同じ側に次々と並べる。そして、線分のつなぎ目に自然数を対応させていく。

このようにすると、線分のつなぎ目の点として自然数を表現できる。

この自然数の図示によって生まれた、上図のような数を表す直線のことを数直線 (number line) という。数直線上のある点 $\text{X}$ について「点 $\text{X}$ に対応する数が $a$ であること」を、$\text{X}(a)$ と書く。たとえば、下図では点 $\text{X}$ に対応する数が $3$ であるので、$\text{X}(3)$ である。