絶対値を含む1次関数・方程式・不等式

絶対値と方程式・不等式

絶対値でも学んだように、実数 $x$ の絶対値 $|x|$ は、数直線上での原点と実数 $x$ に対応する点との距離を表すので、次のことがいえる。

絶対値と方程式・不等式の関係

絶対値と方程式・不等式の関係の図

絶対値と方程式・不等式の関係の図

絶対値を含む $x$ の方程式、不等式に関して \begin{align} |x|=a\Leftrightarrow&~x=\pm\text{a}\\ |x|\lt a\Leftrightarrow&-a\lt{x}\lt{a}\\ |x|\gt a\Leftrightarrow&x\lt-a,a\lt{x} \end{align} ただし、$a\gt0$ とする。

絶対値を含む1次方程式・1次不等式

  1. $|x−1|=3$
  2. $|3x−2|=6$
  3. $|x+1|\gt4$
  4. $|5x-2|\leqq4$

  1. $(右辺)=3$ なので、$x-1=\pm3$ より、$\boldsymbol{x=-2,~4}$ である。
    $\blacktriangleleft$ $x-1=-3$ のときは $x=-2$、$x-1=3$ のときは $x=4$
  2. $(右辺)=6$ なので、$3x-2=\pm6$ より \begin{align} &3x-2=\pm6\\ \Leftrightarrow~&3x=-4,8\\ \therefore~&\boldsymbol{x=-\dfrac{4}{3}~,~~\dfrac{8}{3}} \end{align}
  3. $(右辺)=4$ なので \begin{align} &x+1\lt-4または4{\lt}x+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x\lt-5または3\lt{x}} \end{align}
  4. $(右辺)=4$ なので、$-4\leqq{5x-2}\leqq4$ より \begin{align} &-4\leqq5x-2\leqq4\\ \Leftrightarrow~&-2\leqq5x\leqq6\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{-\dfrac{2}{5}\leqq{x}\leqq\dfrac{6}{5}} \end{align}

場合に分けて絶対値を外す

以下のような問題では、場合に分けて絶対値を外す必要がある。(絶対値参照)

  • 絶対値を含む1次関数の式のグラフを書く
  • $(xの式)=a$ の形でない方程式・不等式を解く

絶対値を含む1次関数

次の式で与えられた関数のグラフを描け。

  1. $y=2x+|x−1|$
  2. $y=|x−4|$

  1. 1のグラフ
    1. $x-1\geqq0$、つまり $1\leqq{x}$ のとき \begin{align} y=2x+(x-1)\\ =3x-1 \end{align}
    2. $x−1\lt0$、つまり $x\lt1$ のとき \begin{align} y=2x-(x-1)\\ =x+1 \end{align}
    i、iiより、グラフは右図のようになる。
  2. 2のグラフ
    1. $x-4\geqq0$、つまり $4\leqq{x}$ のとき \[y=x-4\]
    2. $x−4\lt0$、つまり $x\lt4$ のとき \begin{align} y=-(x-4)\\ =-x+4 \end{align}
    i、iiより、グラフは右図のようになる。

絶対値を含む1次方程式

次の方程式を解け。

  1. $|x+1|=2x$
  2. $|3x−4|=x+8$
  3. $|2x−2|=x−4$

    1. $x+1\geqq0$、つまり \[-1\leqq{x}\tag{1}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito1}\] のとき \begin{align} &x+1=2x\\ \Leftrightarrow~&x=1 \end{align} これは、$\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito1}$ に適している。
    2. $x+1\lt0$、つまり \[x\lt-1\tag{2}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito2}\] のとき \begin{align} &-x-1=2x\\ \Leftrightarrow~&3x=-1\\ \therefore~&x=-\dfrac{1}{3} \end{align} これは、$\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito2}$ に適さない。
    iまたはiiを満たすものが解となり、$\boldsymbol{x=1}$ である。
    1. $3x-4\geqq0$、つまり \[\dfrac{4}{3}\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito3}\] のとき \begin{align} &3x-4=x+8\\ \Leftrightarrow~&2x=12\\ \therefore~&x=6 \end{align} これは、$\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito3}$ に適している。
    2. $3x−4\lt0$、つまり \[x\lt\dfrac{4}{3}\tag{4}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito4}\] のとき \begin{align} &-3x+4=x+8\\ \Leftrightarrow~&4x=-4\\ \therefore~&x=-1 \end{align} これは、$\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito4}$ に適している。
    iまたはiiを満たすものが解となり、$\boldsymbol{x=-1~,~6}$ である。
    1. $2x-2\geqq0$、つまり \[1\leqq{x}\tag{5}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito5}\] のとき \begin{align} &2x-2=x-4\\ \Leftrightarrow~&x=-2 \end{align} これは、$\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito5}$ に適さない。
    2. $2x−2\lt0$、つまり \[x\lt1\tag{6}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito6}\] のとき \begin{align} &-2x+2=x-4\\ \Leftrightarrow~&-3x=-6\\ \therefore~&x=2 \end{align} これは、$\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito6}$ に適さない。
    i、iiのどちらにも満たす解がないので、解なしが答えとなる。
    $\blacktriangleleft$ 実際、$y=|2x-2|$、$y=x-4$ のグラフを両方書いてみると、交点をもたない。

絶対値を含む1次不等式

    次の不等式を解け。
  1. $|x+6|\gt 3x$
  2. $|2x-1|\leqq{x+2}$

    1. 1-iの図
      $x+6\geqq0$、つまり \[-6\leqq{x}\tag{1}\label{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito1}\] のとき \begin{align} &x+6\gt3x\\ \Leftrightarrow~&2x\lt6\\ \therefore~&x\lt3 \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito1}$ を合わせて、$-6\leqq{x}\lt3$
    2. 1-iiの図
      $x+6\lt0$、つまり \[x\lt-6\tag{2}\label{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito2}\] のとき \begin{align} &-x-6\gt3x\\ \Leftrightarrow~&4x\lt-6\\ \therefore~&x\lt-\dfrac{3}{2} \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito2}$ を合わせて、$x\lt-6$
    iまたはiiを満たすものが解となり、$\boldsymbol{x\lt3}$ である。
    1. 2-iの図
      $2x-1\geqq0$、つまり \[\dfrac{1}{2}\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito3}\] のとき \begin{align} &2x-1\leqq{x+2}\\ \Leftrightarrow~&x\leqq3 \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito3}$ を合わせて、$\dfrac{1}{2}\leqq{x}\leqq3$
    2. $2x−1\lt0$、つまり
      2-iiの図
      \[x\lt\dfrac{1}{2}\tag{4}\label{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito4}\] のとき \begin{align} &-2x+1\leqq{x+2}\\ \Leftrightarrow~&-\dfrac{1}{3}\leqq{x} \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito4}$ を合わせて、$-\dfrac{1}{3}\leqq{x}\lt\dfrac{1}{2}$
    iまたはiiを満たすものが解となり、$\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}\leqq{x}\leqq3}$ である。