絶対値を含む1次関数・方程式・不等式

絶対値と方程式・不等式

絶対値でも学んだように、実数 $x$ の絶対値 $|x|$ は、数直線上での原点と実数 $x$ に対応する点との距離を表すので、次のことがいえる。

絶対値と方程式・不等式の関係

絶対値と方程式・不等式の関係の図

絶対値を含む $x$ の方程式、不等式に関して $\begin{align} |x|=a\Leftrightarrow&~x=\pm\text{a}\\ |x|\lt a\Leftrightarrow&-a\lt{x}\lt{a}\\ |x|\gt a\Leftrightarrow&x\lt-a,a\lt{x} \end{align}$ ただし、 $a\gt0$ とする。

絶対値を含む1次方程式・1次不等式

$|x−1|=3$
$|3x−2|=6$
$|x+1|\gt4$
$|5x-2|\leqq4$

絶対値を含む1次方程式・1次不等式の解答

$(右辺)=3$ なので、 $x-1=\pm3$ より、 $\boldsymbol{x=-2,~4}$ である。
$\blacktriangleleft$ $x-1=-3$ のときは $x=-2$ 、 $x-1=3$ のときは $x=4$
$(右辺)=6$ なので、 $3x-2=\pm6$ より $\begin{align} &3x-2=\pm6\\ \Leftrightarrow~&3x=-4,8\\ \therefore~&\boldsymbol{x=-\dfrac{4}{3}~,~~\dfrac{8}{3}} \end{align}$
$(右辺)=4$ なので $\begin{align} &x+1\lt-4または4{\lt}x+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x\lt-5または3\lt{x}} \end{align}$
$(右辺)=4$ なので、 $-4\leqq{5x-2}\leqq4$ より $\begin{align} &-4\leqq5x-2\leqq4\\ \Leftrightarrow~&-2\leqq5x\leqq6\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{-\dfrac{2}{5}\leqq{x}\leqq\dfrac{6}{5}} \end{align}$

場合に分けて絶対値を外す

以下のような問題では、場合に分けて絶対値を外す必要がある。(絶対値参照)

絶対値を含む1次関数の式のグラフを書く
$(xの式)=a$ の形でない方程式・不等式を解く

絶対値を含む1次関数

次の式で与えられた関数のグラフを描け。

$y=2x+|x−1|$
$y=|x−4|$

絶対値を含む1次関数の解答

1. $x-1\geqq0$ 、つまり $1\leqq{x}$ のとき $\begin{align} y=2x+(x-1)\\ =3x-1 \end{align}$
2. $x−1\lt0$ 、つまり $x\lt1$ のとき $\begin{align} y=2x-(x-1)\\ =x+1 \end{align}$
i、iiより、グラフは右図のようになる。
1. $x-4\geqq0$ 、つまり $4\leqq{x}$ のとき $y=x-4$
2. $x−4\lt0$ 、つまり $x\lt4$ のとき $\begin{align} y=-(x-4)\\ =-x+4 \end{align}$
i、iiより、グラフは右図のようになる。

絶対値を含む1次方程式

次の方程式を解け。

$|x+1|=2x$
$|3x−4|=x+8$
$|2x−2|=x−4$

絶対値を含む1次方程式の解答

1. $x+1\geqq0$ 、つまり $-1\leqq{x}\tag{1}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito1}$ のとき $\begin{align} &x+1=2x\\ \Leftrightarrow~&x=1 \end{align}$ これは、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito1}$ に適している。
2. $x+1\lt0$ 、つまり $x\lt-1\tag{2}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito2}$ のとき $\begin{align} &-x-1=2x\\ \Leftrightarrow~&3x=-1\\ \therefore~&x=-\dfrac{1}{3} \end{align}$ これは、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito2}$ に適さない。
iまたはiiを満たすものが解となり、\boldsymbol{x=1} である。
1. $3x-4\geqq0$ 、つまり $\dfrac{4}{3}\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito3}$ のとき $\begin{align} &3x-4=x+8\\ \Leftrightarrow~&2x=12\\ \therefore~&x=6 \end{align}$ これは、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito3}$ に適している。
2. $3x−4\lt0$ 、つまり $x\lt\dfrac{4}{3}\tag{4}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito4}$ のとき $\begin{align} &-3x+4=x+8\\ \Leftrightarrow~&4x=-4\\ \therefore~&x=-1 \end{align}$ これは、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito4}$ に適している。
iまたはiiを満たすものが解となり、\boldsymbol{x=-1~,~6} である。
1. $2x-2\geqq0$ 、つまり $1\leqq{x}\tag{5}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito5}$ のとき $\begin{align} &2x-2=x-4\\ \Leftrightarrow~&x=-2 \end{align}$ これは、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito5}$ に適さない。
2. $2x−2\lt0$ 、つまり $x\lt1\tag{6}\label{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito6}$ のとき $\begin{align} &-2x+2=x-4\\ \Leftrightarrow~&-3x=-6\\ \therefore~&x=2 \end{align}$ これは、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jihotesikinokaito6}$ に適さない。
i、iiのどちらにも満たす解がないので、解なしが答えとなる。
\blacktriangleleft 実際、y=|2x-2|、y=x-4 のグラフを両方書いてみると、交点をもたない。

絶対値を含む1次不等式

$|x+6|\gt 3x$
$|2x-1|\leqq{x+2}$

絶対値を含む1次不等式の解答

1. $x+6\geqq0$ 、つまり $-6\leqq{x}\tag{1}\label{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito1}$ のとき $\begin{align} &x+6\gt3x\\ \Leftrightarrow~&2x\lt6\\ \therefore~&x\lt3 \end{align}$ これと、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito1}$ を合わせて、 $-6\leqq{x}\lt3$
2. $x+6\lt0$ 、つまり $x\lt-6\tag{2}\label{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito2}$ のとき $\begin{align} &-x-6\gt3x\\ \Leftrightarrow~&4x\lt-6\\ \therefore~&x\lt-\dfrac{3}{2} \end{align}$ これと、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito2}$ を合わせて、 $x\lt-6$
iまたはiiを満たすものが解となり、\boldsymbol{x\lt3} である。
1. $2x-1\geqq0$ 、つまり $\dfrac{1}{2}\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito3}$ のとき $\begin{align} &2x-1\leqq{x+2}\\ \Leftrightarrow~&x\leqq3 \end{align}$ これと、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito3}$ を合わせて、 $\dfrac{1}{2}\leqq{x}\leqq3$
2. $2x−1\lt0$ 、つまり
  $x\lt\dfrac{1}{2}\tag{4}\label{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito4}$ のとき $\begin{align} &-2x+1\leqq{x+2}\\ \Leftrightarrow~&-\dfrac{1}{3}\leqq{x} \end{align}$ これと、 $\eqref{zettaitiwohukumu1jifutosikinokaito4}$ を合わせて、 $-\dfrac{1}{3}\leqq{x}\lt\dfrac{1}{2}$
iまたはiiを満たすものが解となり、\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}\leqq{x}\leqq3} である。