1次関数のグラフ

関数 $f(x)$ が $x$ の1次式で表されるとき、つまり、$a(\neq0)$、$b$ を定数として \[f(x)=ax+b\] の形で表されるとき、$f(x)$ は $x$ の1次関数 (linearfunction) であるという。

たとえば、以下の $x$ の関数 $f(x)$ は、すべて1次関数である。 \begin{align} &f(x)=x+2\\ &f(x)=3x-\frac{1}{2}\\ &f(x)=-2x+\sqrt{2} \end{align}

1次関数 $y=ax+b$ において、まずは $b=0$ の場合、つまり $y=ax$ のグラフについて考えてみよう。このタイプのグラフは次のような特徴があった。

傾き $a$ は「$x$ が $1$ 増加したときの $y$ の増加量」になっている。$a$ が負のときは $y$ の増加量が負になり、$y$ は減少していることになる。

次に、一般の1次関数 $y=ax+b$ のグラフについて考えてみよう。

2つの1次関数のグラフ

例として2つの1次関数 \begin{align} &y=\dfrac{1}{2}x\\ &y=\dfrac{1}{2}x+1 \end{align} の関係を考えてみよう。

上の表から、$y=\dfrac{1}{2}x+1$ のグラフは、$y=\dfrac{1}{2}x$ のグラフを $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動した直線であるとわかる。

また、原点より $y$ 軸方向に $1$ 大きい点 $(0,~1)$ を通ることがわかる。

2つの1次関数のグラフ

例として2つの1次関数 \begin{align} &y=2x\\ &y=2(x-3) \end{align} の関係を考えてみよう。

上の表から、$y=2(x-3)$ のグラフは、$y=2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した直線になるとわかる

また、このグラフは原点より $x$ 軸方向に $3$ 大きい点 $(3,~0)$ を通る。

最後に、$y=a(x-p)$ の右辺に $q$ を加えた \[y=a(x-p)+q\] という形をした1次関数のグラフについて考えてみよう。

$y=2(x-3)+1$ のグラフ

たとえば $y=2(x-3)+1$ のグラフについて考えてみよう。これは、$y=2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$ 平行移動した \[y=2(x-3)\] のグラフを、さらに $y$ 軸方向に $1$ 平行移動した \[y=2(x-3)+1\] のグラフを表している。

また、$y=2(x-3)+1$ のグラフは、原点より $x$ 軸方向に $3$ 大きく、$y$ 軸方向に $1$ 大きい点 $(3,~1)$ を通ることがわかる。

また、$y=2(x-3)+1$ は、計算によって $y=2x-5$ や $y=2\left(x-\dfrac{5}{2}\right)$ とも表せるので、$y=2x$ を $y$ 軸方向に $-5$ 平行移動したものともいえるし、$x$ 軸方向に $\dfrac{5}{2}$ 平行移動したものともいえる。このことを、上のグラフで確認しておくこと。

「1次関数 $y=ax+b$ のグラフ」のことを
「直線 $y=ax+b$」
ということがある。このときの $y=ax+b$ は、直線の方程式 (equation of line) といわれる。