1次関数の決定
変化の割合と傾き$a$
関数 $f(x)$ において、ある $x$ の範囲における「$x$ の増加量に対する $f(x)$ の増加量の比」を，その $x$ の範囲における変化の割合 (rateofchange) という。
$x$ 座標が，$x_0$ から $x_1$ に増加するときの $f(x)$ の変化の割合は \begin{align} （変化の割合）&=\dfrac{（f(x)の増加量）}{（xの増加量）}\\ &=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} \end{align}
変化の割合と傾きの関係の図
右図のように、直線 $y=ax+b$ が異なる2点 $(x_0,~ax_0+b)$、$(x_1,~ax_1+b)$ を通るとき
\begin{align} &(変化の割合)\\ =&\frac{(ax_1+b)-(ax_0+b)}{x_1-x_0}\\ =&\frac{ax_1-ax_0}{x_1-x_0}\\ =&\frac{a(x_1-x_0)}{x_1-x_0}\\ =&a\end{align} となり、1次関数の変化の割合は傾きと等しいことがわかる。
直線の傾き $a$
直線の傾きの図
- 1次関数の変化の割合は、常にそのグラフの傾きに等しい。
- 異なる2点 $(x_0,~y_0)$、$(x_1,~y_1)$ を通る直線の傾き $a$ は次の式で求められる。 \[a=\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\left(=\dfrac{\text{（yの増加量）}}{\text{(xの増加量）}}\right)\]
傾き $a$ を求める
次の条件にあった1次関数の傾きを求めよ。
- $x$ が $3$ 増えれば $y$ は $6$ 増える1次関数
- $x$ が $3$ 増えれば $y$ は $6$ 減る1次関数
- グラフが2点 $(0,~0)$、$(3,~6)$ を通る1次関数
- グラフが2点 $(-3,~5)$、$(2,~-5)$ を通る1次関数
- $（傾き）=\dfrac{\text{（yの増加量）}}{\text{（xの増加量）}}=\dfrac{6}{3}=\boldsymbol{2}$
- $（傾き）=\dfrac{\text{（yの増加量）}}{\text{（xの増加量）}}=\dfrac{-6}{3}=\boldsymbol{-2}$
$\blacktriangleleft$ 「$6$ 減る」ことと「$-6$ 増える」ことは同じ - 傾きは $\dfrac{6-0}{3-0}=\boldsymbol{2}$
$\blacktriangleleft$ 直線の傾き $a$ 参照 - 傾きは$\dfrac{-5-5}{2-(-3)}=\dfrac{-10}{5}=\boldsymbol{-2}$
$\blacktriangleleft$ 直線の傾き $a$ 参照
1次関数を決定する
$y=a(x-p)+q$ のグラフで学んだことを用い、条件に合った1次関数の式を求めてみよう。
直線の傾きと通る1点が与えられた場合
グラフが次の条件を満たす1次関数を求めよ。
- 傾きが $3$ で、点 $(2,~1)$ を通る。
- 傾きが $2$ で、$y$ 切片が $1$ である。
- 傾きが $2$ で、$x$ 切片が $3$ である。
- 傾きが $3$ で、点 $(2,~1)$ を通る直線の方程式は \begin{align} &y=3(x-2)+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=3x-5}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}
- $y$ 切片が $1$ であるということは、点 $(0,~1)$ を通るということであるから \begin{align} &y=2(x-0)+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=2x+1}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}
- $x$ 切片が $3$ であるということは、点 $(3,~0)$ を通るということであるから \begin{align} &y=2(x-3)+0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=2x-6}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}
直線の通る2点が与えられた場合
グラフが次の条件を満たす1次関数を求めよ。
- 2点 $(-2,~-7)$、$(1,~-1)$ を通る。
- 2点 $(-5,~-9)$、$(5,~7)$ を通る。
- $x$ 切片が $3$、$y$ 切片が $5$ である。
傾きは \[\dfrac{-1-(-7)}{1-(-2)}=2\] $\blacktriangleleft$ 直線の傾き $a$
である。通る点を $(-2,~-7)$ として
$\blacktriangleleft$ 通る点を $(1,~-1)$ としてもよい \begin{align} &y=2{x-(-2)}-7\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=2x-3}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}傾きは \[\dfrac{7-(-9)}{5-(-5)}=\dfrac{8}{5}\] \blacktriangleleft 直線の傾き $a$
である。通る点を $(-5,~-9)$ として
$\blacktriangleleft$ 通る点を $(5,~7)$ としてもよい \begin{align} &y=\dfrac{8}{5}{x-(-5)}-9\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{8}{5}x-1}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}求めたい関数のグラフは、$x$ 切片が $3$ なので $(3,~0)$ を通り、$y$ 切片が $5$ なので $(0,~5)$ を通る。
つまり、傾きは \[\dfrac{5-0}{0-3}=-\dfrac{5}{3}\] $\blacktriangleleft$ 直線の傾き $a$
であるから、通る点を $(3,~0)$ として
$\blacktriangleleft$ 通る点を $(0,~5)$ としてもよい \begin{align} &y=-\dfrac{5}{3}(x-3)+0\\ \Leftrightarrow&~\boldsymbol{y=-\dfrac{5}{3}x+5}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}
切片が与えられたときの直線の方程式
右の図のように原点を通らない直線で、$x$ 切片が $x_0$、$y$ 切片が $y_0$ である直線は、傾きが $-\dfrac{y_0}{x_0}$ であり $(0,~y_0)$ を通るので、$y=-\dfrac{y_0}{x_0}x+y_0$ となる。
原点を通らない直線
この式全体を $y_0$ で割ると \begin{align} &\dfrac{y}{y_0}=-\dfrac{x}{x_0}+1\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{x}{x_0}+\dfrac{y}{y_0}=1 \end{align} となる。
切片が与えられたときの直線の方程式
$x$ 切片が $x_0$、$y$ 切片が $y_0$ の直線の方程式は $\dfrac{x}{x_0}+\dfrac{y}{y_0}=1$ で表される。
上の例題の3は、$x$ 切片が $3$、$y$ 切片が $5$ であるから \begin{align} &\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{5}=1\\ \Leftrightarrow~&5x+3y-15=0\\ \Leftrightarrow~&y=-\dfrac{5}{3}x+5 \end{align} となりさきほどの解答と確かに一致する。