第1余弦定理

第1余弦定理

第1余弦定理

図のような三角形の2つの角と2辺の長さの間に次の関係式が成り立つ。

\[c=b\cos{A}+a\cos{B}\] これを、第1余弦定理 (first cosine theorem) という。

この式が成り立つことを、$A$ が鋭角、直角、鈍角の場合に分けて、以下に見ていこう。

  1. $A$ が鋭角のとき

    iの図

    線分 $\text{AB}$ 上に、図のように垂線 $\text{CH}$ をひくと \begin{align} &b\cos{A}+a\cos{B}\\ =&\text{AH}+\text{BH}\\ =&\text{AB}=c \end{align} となり成立。

  2. $A$ が直角のとき

    iiの図

    $A=90^\circ$ より、$\cos{A}=0$ となるので \begin{align} &b\overbrace{\cos{A}}^{0}+a\cos{B}\\ =&a\cos{B}\\ =&c \end{align} となり成立。

暗記第1余弦定理の導出

上の続きとして、$A$ が鈍角のときも第1余弦定理が成り立つことを証明せよ。

第1余弦定理の導出

第1余弦定理の導出

直線 $\text{AB}$ 上に、図のように垂線 $\text{CH}$ をひくと \begin{align} &b\cos{A}+a\cos{B}\\ =&-b\cos(180^\circ-A)+a\cos{B}\\ =&-\text{AH}+\text{BH}\\ =&\text{BH}-\text{AH}=\text{AB}=c \end{align}

第1余弦定理

第1余弦定理

第1余弦定理

$\triangle\text{ABC}$ において \begin{align} &c=b\cos{A}+a\cos{B}\\ &b=a\cos{C}+c\cos{A}\\ &a=c\cos{B}+b\cos{C} \end{align} が成り立つ。

吹き出し第1余弦定理

第1余弦定理のイメージ

第1余弦定理のイメージ

この定理は、ある角から見たときに左右2つの辺を向かいの辺に押しつぶす感じで覚えると良い。