有理数とは何か

$6$ 個のものを $3$ 個 $1$ 組にすると、$6\div3=2$ 組ができる。 この $2$ という数は、$6$ の $3$ に対する比 (ratio) の値を表している。比の値は整数になることもあるが、$6$ の $5$ に対する比の値、つまり、$6\div5$ は整数では表せない。そこで新しい数 $\dfrac{6}{5}$ をつくる。

一般に、整数 $a$ と、$0$ でない整数 $b$ によって $\dfrac{a}{b}$ の形で表せる数を、有理数 (rational number) という。

ある整数を $a$ とすると、一般に $\dfrac{a}{1}$ と表すことができるので、整数は有理数である。

有理数のうち、$\dfrac{4}{3}$ と $\dfrac{8}{6}$ などは、約分 (reduction) $\dfrac{\not{8}^{4}}{\not{6}_{3}}=\dfrac{4}{3}$ という作業を通じて、どちらも $\dfrac{4}{3}$ として同一視できる。この $\dfrac{4}{3}$ のように、もうこれ以上約分できない有理数のことを既約きやく分数 (irreducible fraction) という。

たとえば、次の数は全て有理数である。 $$-\dfrac{8}{3},~-2,~0,~\dfrac{11}{19},~\dfrac{18}{9},~26$$

有理数では、$0$ を分母とすることはない、すなわち $0$ で割り算することはないことに注意しよう。もし、仮に $\dfrac{1}{0}$ などという数を認めて、その値がたとえば $0$ だったとすると、$\dfrac{1}{0}=0$ の両辺に、$0$ を掛けて $$\begin{align} &\dfrac{1}{\not{0}}\times\not{0}=0\times0\\ \Leftrightarrow&1=0 \end{align}$$ というおかしな結果（矛盾むじゅん）を生じてしまう。