2文字2次式の因数分解

ここでは、$x$ についても $y$ についても次数が同じ $x^2+4xy+3y^2+x+5y-2$ という式の因数分解について考えてみよう。

【方法1：1次式の積の公式の逆利用を使う】

まず、$x^2+4xy+3y^2+x+5y−2$ を $x$ の式とみて、降べきの順に整理する。 \begin{align} x^2+(4y+1)x+3y^2+5y-2 \end{align} 次に、$x$ を含まない項について因数分解する。 \begin{align} x^2+(4y+1)x+(3y-1)(y+2) \end{align}

1次式の積の公式の逆利用のときと同じように、下のような表を描き、隙間を埋めていく。 \begin{array}{c||c|} &x&y+2\\\hline{x}&x^2&\\\hline3y-1&&(3y-1)(y+2)\\\hline \end{array} より \begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&y+2\\\hline{x}&x^2&(y+2)x\\\hline3y-1&(3y-1)x&(3y-1)(y+2)\\\hline \end{array} と表を作れるから \[(x+y+2)(x+3y-1)\] と因数分解できる。

【方法2：$3$ マス $\times$ $3$ マスの表を書く】

STEP1
因数分解する式 \[\boldsymbol{x^2}+4xy\boldsymbol{+3y^2}+x+5y\boldsymbol{-2}\] の、$x^2$の項($x^2$)、$y^2$の項($3y^2$)、定数項($−2$)を下図のように、$3\times 3$の表に書き込む \begin{array}{c||c|} &&&\\\hline&\boldsymbol{x^2}&&\\\hline&&\boldsymbol{3y^2}&\\\hline&&&\boldsymbol{-2}\\\hline \end{array}

STEP2
左上から順にます目を埋めていく。
まずは $x^2$ の分解を考えたものが下図である。 \begin{array}{c||c|} &\boldsymbol{x}&&\\\hline\boldsymbol{x}&x^2&&\\\hline&&3y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}

STEP3
$3y^2=3y\times{y}$ と分解できるから、ます目を埋めると下図のようになる。このとき、新しくできた $xy$ と $3xy$ を足したものが、因数分解する式の $4xy$ \[x^2\boldsymbol{+4xy}+3y^2+x+5y-2\] と等しくなるような分解を考える（$3y^2=(-3y)\times(-y)$ の分解では、$-4xy$ となるので考えなくてよい） \begin{array}{c||c|} &x&y&\\\hline{x}&x^2&\boldsymbol{xy}&\\\hline3y&\boldsymbol{3xy}&3y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}

STEP4
最後に、定数項($-2$)の分解を考える。
下の2つは、$x$ と $-2x$ を足しても \[x^2+4xy+3y^2\boldsymbol{+x}+5y-2\] にならないのでその時点で失敗。 \begin{array}{c||c|} \times&x&y&1\\\hline{x}&x^2&xy&\boldsymbol{x}\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline-2&\boldsymbol{-2x}&&-2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&x&y&-2\\\hline{x}&x^2&xy&\boldsymbol{-2x}\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline1&\boldsymbol{x}&&-2\\\hline \end{array} 最後の空欄を埋め、その和が \[x^2+4xy+3y^2+x\boldsymbol{+5y}-2\] となるものが正解の表となる。

\begin{array}{c||c|} \times&x&y&-1\\\hline{x}&x^2&xy&-x\\\hline3y&3xy&3y^2&\boldsymbol{-3y}\\\hline2&2x&\boldsymbol{2y}&-2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&y&2\\\hline{x}&x^2&xy&2x\\\hline3y&3xy&3y^2&\boldsymbol{6y}\\\hline-1&-x&\boldsymbol{-y}&-2\\\hline \end{array} 以上から \[(x+3y-1)(x+y+2)\] と因数分解できることがわかる。