次数の低い文字に着目する因数分解

2つ以上の文字を含む多項式では、最も次数の低い文字に着目して整理すると、因数分解がしやすくなることが多い。

$a^2+ab-3a+b-4$ という式には、共通因数も無く、どの公式にも当てはまらないが \begin{align} &a^2+ab-3a+b-4\\ =&(a+1)b+a^2-3a-4\\ =&(a+1)b+(a-4)(a+1)\\ =&(a+1)(a+b-4)\\ \end{align}

$a$ については $2$ 次式、$b$ については $1$ 次式
次数の低い $b$ について、降べきの順に整頓
定数項を因数分解したら $a+1$ が共通因数になった
$b+a-4$ は順番を入れ替えておこう

次数の低い文字に着目する因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $a^2+ab+bc+ca$
  2. $x^2−2xy+2y−1$
  3. $x^2+2xy+3x+4y+2$
  4. $a^3+ab^2+b^2+1$

  1. $b$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &a^2+ab+bc+ca\\ =&(a+c)b+(a^2+ca)\\ =&(a+c)b+(a+c)a\\ =&\boldsymbol{(a+b)(a+c)} \end{align} $c$ で整理してもよい
    共通因数を見抜いて因数分解してもよい。また、$a$ の2次式と見て、次に学ぶ2文字2次式の因数分解で考えてもよい。
  2. $y$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &x^2+2xy-2y-1\\ =&(x-1)2y+(x^2-1)\\ =&(x-1)2y+(x-1)(x+1)\\ =&\boldsymbol{(x-1)(x+2y+1)} \end{align} $x$ の次数は $2$、$y$ の次数は $1$
  3. $y$ についての降べきの順に整理すると \begin{align} &x^2+2xy+3x+4y+2\\ =&(2x+4)y+(x^2+3x+2)\\ =&(x+2)2y+(x+1)(x+2)\\ =&\boldsymbol{(x+2)(x+2y+1)} \end{align} $x$ の次数は $2$、$y$ の次数は $1$
  4. $b$ についての降べきの順に整理すると \begin{align} &a^3+ab^2+b^2+1\\ =&(a+1)b^2+(a^3+1)\\ =&(a+1)b^2+(a+1)(a^2-a+1)\\ =&\boldsymbol{(a+1)(a^2+b^2-a+1)} \end{align} $a$ の次数は $3$、$b$ の次数は $2$