三角比から辺の長さを求める

直角三角形

次の図の三角形において、 $\tan{A}=\dfrac{a}{b}$ であるが、この式の両辺に $b$ を掛けて $b\tan{A}=a$ という式を得る。 $\sin$ 、 $\cos$ についても同じようにして $c\sin{A}=a,~c\cos{A}=b$ となる。これらの式は、三角比から辺の長さを求めるときに用いられる。

三角比から辺の長さを求める

直角三角形

次の図の直角三角形において $a=c\sin{A}~,~b=c\cos{A}~,~a=b\tan{A}$ が成り立つ。

三角比と辺の長さ

三角比と辺の長さの図

次の図形について、次の問いに答えよ。

$\text{AD}=6$ のとき、長さが $6\sin{A}$ 、 $6\cos{A}\sin{B}$ に等しい線分を、それぞれ答えよ。
$\text{AC}=5$ のとき、 $\text{CD}$ 、 $\text{AB}$ 、 $\text{AD}$ の長さを、 $A$ 、 $B$ で表せ。

三角比と辺の長さの解答

$6\sin{A}=\boldsymbol{\text{CD}}$ 、 $6\cos{A}\sin{B}=\text{AC}\sin{B}=\boldsymbol{\text{AB}}$
$\boldsymbol{\text{CD}=5\tan{A}}$ 、 $\boldsymbol{\text{AB}=5\sin{B}}$ また、 $AD\cos{A}=5$ より、 $\boldsymbol{\text{AD}=\dfrac{5}{\cos{A}}}$

三角比の応用

三角比の応用の図

三角比の表を使って、以下の問に答えよ。ただし、小数第2位を四捨五入して答えなさい。

目の高さが1.5mにある人が、木から5.0m離れた地点に立って木のてっぺんを見上げた。
すると、水平な地面と視線のなす角 $\blacktriangleleft$ （この角度のことを、仰角ぎょうかくという。）が $42^\circ$ であった。この木の高さはおよそ何mか。（図参照）
凧たこ揚あげをしていたら、水平な地面に対し $50^\circ$ の角度で長さ50.0mのひもが伸びきった。この凧は地面からおよそ何mの高さにあるか。
ただし、ひもを持つ手は1.0mの高さにあり、糸が一直線に伸びているとする。

三角比の応用の解答

図のように $\text{O}$ 、 $\text{T}$ 、 $\text{H}$ 、 $\text{A}$ をとると、木の高さは $\text{TA}$ の長さになる。
$\triangle{\text{OTH}}$ に注目して
$\blacktriangleleft$ 三角比の表より $\tan 42^\circ\fallingdotseq0.9004$
$\begin{align} \text{TH}&=\text{OH}\times\tan 42^\circ\\ &\fallingdotseq5.0~\text{m} \times 0.9004 \\ &\fallingdotseq4.5~\text{m} \end{align}$ よって、木の高さはおよそ $4.5+1.5= \boldsymbol{6.0\text{m}}$
図のように $\text{O}$ 、 $\text{T}$ 、 $\text{H}$ 、 $\text{A}$ をとると、たこの高さは $\text{TA}$ の長さになる。
$\triangle{\text{OTH}}$ に注目して
$\blacktriangleleft$ 三角比の表より $\sin 50^\circ\fallingdotseq0.7660$
$\begin{align} \text{TH}&=\text{OT}\times\sin 50^\circ\\ &\fallingdotseq50.0~\text{m}\times0.7660\\ &=38.3~\text{m} \end{align}$ よって、たこの高さはおよそ $38.3+1.0=\boldsymbol{39.3\text{m}}$