正弦と余弦の定義
正接の場合と同じように、$\angle\text{C}$ が直角である直角三角形 $\text{ABC}$ において、$\angle\text{A}$ から見たときの $\dfrac{（対辺）}{（斜辺）}=\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}$ の値や、$\dfrac{（底辺）}{（斜辺）}=\dfrac{\text{AC}}{\text{BA}}$ の値は、$\triangle\text{ABC}$ の大きさに関係無く、$\angle\text{A}$ の大きさだけで決まる。
正弦と余弦の例
たとえば、図の $\triangle\text{AB'C'}$ は $\triangle\text{ABC}$ の0.75倍の大きさで描かれているが \begin{align} &\dfrac{\text{B'C'}}{\text{AB'}}=\dfrac{0.75\times\text{BC}}{0.75\times\text{AB}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}\\ &\dfrac{\text{AC'}}{\text{B'A}}=\dfrac{0.75\times\text{AC}}{0.75\times\text{BA}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{BA}} \end{align} となり直角三角形の大きさは関係ないのがわかる。
ここで、$\dfrac{（対辺）}{（斜辺）}$ の値を $A$ の
また、$\dfrac{（底辺）}{（斜辺）}$ の値を $A$ の
正弦・余弦の定義
正弦と余弦の定義を表す図
右図の直角三角形 $\text{ABC}$ において \begin{align} &\sin{A}=\dfrac{a}{c}\\ &\cos{A}=\dfrac{b}{c} \end{align} とする。
吹き出し正弦と余弦の定義
正弦の覚え方
余弦の覚え方
$\sin{A}$ の値 $\dfrac{a}{c}$ や、$\cos{A}$ の値 $\dfrac{b}{c}$ も、$\tan$ のときと同じように、$\sin$ の頭文字 $s$ や、$\cos$ の頭文字 $c$ の筆記体の書き順に合わせて、図のように記憶するとよい。
$\sin{A}$ とは、$\angle\text{A}$ からみたときの斜辺に対する対辺の倍率を表し、$\cos{A}$ とは、$\angle\text{A}$ からみたときの斜辺に対する底辺の倍率を表す。
川を渡らずに川幅を知る方法の例で考えれば、斜辺は3.7cmと測れるから \[\sin35^\circ\fallingdotseq\dfrac{2.1}{3.7}\fallingdotseq0.57,~\cos35^\circ\fallingdotseq\dfrac{3}{3.7}\fallingdotseq0.81\]
正弦・余弦の定義
正弦・余弦の定義の図
次の図において、
- 長さ $x$、$y$ を求めよ。
- $\sin{A}$、$\cos{A}$ を求めよ。
- $\sin{B}$、$\cos{B}$ を求めよ。
- 三平方の定理より、 \begin{align} &x=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=\boldsymbol{5}\\ &y=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=\boldsymbol{2\sqrt{5}} \end{align}
- 図より定義にしたがって
\begin{align} &\boldsymbol{\cos{A}=\dfrac{3}{5}}\\ &\boldsymbol{\sin{A}=\dfrac{4}{5}} \end{align}
- 図より定義にしたがって
\begin{align} &\cos{B}=\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}\\ &\sin{B}=\dfrac{2}{2\sqrt{5}}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{5}}{5}} \end{align}
