トレミーの定理
暗記トレミーの定理
トレミーの定理
図のように、四角形 $\text{ABCD}$ が円に内接している。$\text{AB}=a$、$\text{BC}=b$、$\text{CD}=c$、$\text{DA}=d$ とするとき、以下の式を示せ。
- $(ad+bc)\text{BD}^2=(ab+cd)(ac+bd)$
- $\text{AC}\cdot\text{BD}=ac+bd$
- $\triangle\text{ABD}$ に点 $\text{A}$ からみる余弦定理を用いると \begin{align} &\cos\angle\text{BAD}\\ &\quad=\dfrac{a^2+d^2-{\text{BD}}^2}{2ad}\tag{1}\label{toremi-noteiri1} \end{align} $\triangle\text{CBD}$ に点 $\text{C}$ からみる余弦定理を用いると \begin{align} &\cos\angle\text{BCD}\\ &\quad=\dfrac{b^2+c^2-{\text{BD}}^2}{2bc}\tag{2}\label{toremi-noteiri2} \end{align} $-\cos\angle\text{BAD}=\cos\angle\text{BCD}$ であるので、$\eqref{toremi-noteiri1}$ $\eqref{toremi-noteiri2}$ より \begin{align} &-\dfrac{a^2+d^2-{\text{BD}}^2}{2ad}\\ &\qquad=\dfrac{b^2+c^2-{\text{BD}}^2}{2bc}\\ \Leftrightarrow~&bc({\text{BD}}^2-a^2-d^2)\\ &\qquad=ad(b^2+c^2-{\text{BD}}^2)\\ &\blacktriangleleft 両辺に2adbcをかけた\\ \Leftrightarrow~&(ad+bc){\text{BD}}^2\\ =&ad(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2)\\ =&ab(bd+ac)+cd(ac+bd)\\ =&(ab+cd)(ac+bd) \end{align}
- $\cos\angle\text{ABC}=-\cos\angle\text{ADC}$ より \[-\dfrac{a^2+b^2-\text{AC}^2}{2ab}=\dfrac{c^2+d^2-\text{AC}^2}{2cd}\] 1と同じように整頓すれば \begin{align} &(ab+cd)\text{AC}^2\\ &\qquad=cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)\\ \Leftrightarrow~&(ab+cd)\text{AC}^2\\ &\qquad=(ad+bc)(ac+bd) \end{align} これと1の結果より \begin{align} &(ad+bc)\text{BD}^2\times(ab+cd)\text{AC}^2\\ &\quad=(ab+cd)(ac+bd)\\ &\qquad\times(ad+bc)(ac+bd)\\ &\blacktriangleleft 左辺どうし、右辺どうしを掛け合わせた\\ \Leftrightarrow~&\text{BD}^2\cdot \text{AC}^2=(ac+bd)^2\\ \therefore~&\text{BD}\cdot\text{AC}=(ac+bd) \end{align}