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y=a(x−p)2 のグラフ

y=a(x−p)2のグラフ

$y=a(x-p)^2$のグラフ

次に y=a(x−p)2 という形をした放物線について考えてみよう。例として、2つの2次関数 y=2x2y=2(x−3)2 の関係を考えてみよう。

（注）

この2つの関数について、x を整数としていろいろ変化させてみると、y の値は下の表のようまとめることができる。

x⋯−2−1012345⋯
2x2⋯82028183250⋯
2(x−3)2⋯50321882028⋯
上の表から、y=2(x−3)2 のグラフは、y=2x2 のグラフを x 軸方向に 3 だけ平行移動した放物線であるとわかる。

この平行移動によって、軸は x 軸方向に 3 移動し、直線 x=3 に重なる。また、頂点も移動し、原点より x 軸方向に 3 大きい点 (3, 0) であることがわかる。

y＝a(x−p)2 のグラフ

y=a(x−p)2 のグラフは、y=ax2 のグラフを
「x 軸方向に p だけ平行移動」
した放物線である。このとき、軸は直線 x=p、頂点は (p, 0) となる。

放物線を描く～その1～

次の放物線は、[  ]内のグラフをどのように平行移動してできたグラフか。また、軸の方程式と頂点の座標を求め、座標平面にグラフで表せ。

  1. y=2x2−3  [ y=2x2 ]
  2. y=2(x+2)2  [ y=2x2 ]
  3. y=−3x2−1  [ y=−3x2 ]
  4. y=−3(x−4)2  [ y=−3x2 ]

  1. 1の解答
    y=2x2−3 は y=2x2 のグラフを
    y 軸方向に −3 平行移動したグラフ
    であるから
    軸は y 軸（または直線 x=0）、頂点の座標は (0, −3)
    である。また、これは下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
  2. 2の解答
    y=2(x+2)2 は y=2x2 のグラフを
    x 軸方向に −2 平行移動したグラフ
    であるから
    軸は x=−2、頂点の座標は (−2, 0)
    である。また、これは下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
  3. y=−3x2−1 は y=−3x2 のグラフを
    3の解答
    y 軸方向に −1 平行移動したグラフ
    であるから
    軸は y 軸（または直線 x=0）、頂点の座標は (0, −1)
    である。また、これは上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。
  4. 4の解答
    y=−3(x−4)2 は y=−3x2 のグラフを
    x 軸方向に 4平行移動したグラフ
    であるから
    軸は x=4、頂点の座標は (4, 0)
    である。また、これは上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。