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空間図形の計量

空間図形は、上手に切り口を選ぶことにより、平面図形の問題へと帰着される。以下では、代表的な空間図形の計量についてみていこう。

直角が1つの頂点に集まった四面体

直角三角錐の計量

1つの頂点に直角が3つ集まった三角錐のことを直角三角錐 (rectangular triangular pyramid) という。

直角三角錐の計量

直角三角錐の計量
直角三角錐の計量

図のように、AOB=BOC=COA=90 の直角三角錐 OABC において、次の問に答えよ。ただし、OA=2OB=3OC=6 とする。

  1. ABBCCA の長さをそれぞれ求めよ。
  2. ACB=θ とするとき、cosθ の値を求めよ。
  3. ABC の面積 S を求めよ。

  1. OABOBCOCA それぞれに、三平方の定理を用いて \begin{align} &\boldsymbol{\text{AB}=\sqrt{13}}\\ &\boldsymbol{\text{BC}=3\sqrt{5}}\\ &\boldsymbol{\text{CA}=2\sqrt{10}} \end{align}
  2. \triangle\text{ABC} に点 \text{C} からみる余弦定理を用いて \begin{align} \cos\theta&=\dfrac{\text{CA}^2+\text{CB}^2-\text{AB}^2}{2\text{CA}\cdot\text{CB}}\\ &=\dfrac{40+45-13}{2\cdot2\sqrt{10}\cdot3\sqrt{5}}=\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{2}}{5}} \end{align}
  3. 2より \begin{align} \sin\theta&=\sqrt{1-\cos^2\theta}\\ &=\sqrt{1-\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\right)^2}\\ &=\sqrt{1-\dfrac{18}{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{5} \end{align} だから、1より \triangle\text{ABC} の面積 S\begin{align} S&=\dfrac{1}{2}\text{CA}\cdot\text{CB}\sin\theta\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{10}\cdot3\sqrt{5}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{5}\\ &=\boldsymbol{3\sqrt{14}} \end{align}

上の例題で、\triangle\text{OAB}\triangle\text{OBC}\triangle\text{OCA} の面積をそれぞれ S_1S_2S_3 とおくと {S_1}^2+{S_2}^2+{S_3}^2=S^2 が成り立っているのが確認できる。この関係は、一般の直角三角錐で成り立ち、三平方の定理の空間版といえるものである。

三角錐の計量

三角錐の計量
三角錐の計量

図のような三角錐 \text{OABC} において、次の問に答えよ。

  1. \text{OB} の長さを求めよ。
  2. \text{OA} の長さを求めよ。
  3. \text{AC} の長さを求めよ。
  4. \angle\text{ABC}=\theta とするとき、\cos\theta の値を求めよ。

  1. \triangle\text{OBC} に正弦定理を用いて
    1の図
    \dfrac{\text{OB}}{\sin45^\circ}=\dfrac{6}{\sin60^\circ} \begin{align} \Leftrightarrow~\text{OB}=&\dfrac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}\times6\\ =&\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\times6\\ =&\boldsymbol{2\sqrt{6}} \end{align}
  2. \text{OA}=\text{OB}\sin60^\circ=2\sqrt{6}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\boldsymbol{3\sqrt{2}}
  3. まず、\triangle\text{OBC} に点 \text{B} からみる第1余弦定理を用いて
    3の図
    \begin{align} \text{OC}&=\text{BO}\cos\angle\text{BOC}+\text{BC}\cos\angle\text{BCO}\\ &=2\sqrt{6}\cos60^\circ+6\cos45^\circ\\ &=2\sqrt{6}\cdot\dfrac{1}{2}+6\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}+3\sqrt{2} \end{align} これより、\triangle\text{OAC} に三平方の定理を用いて \begin{align} \text{AC}&=\sqrt{\text{OC}^2-\text{OA}^2}\\ &=\sqrt{\left(\sqrt{6}+3\sqrt{2}\right)^2-\left(3\sqrt{2}\right)^2}\\ &=\boldsymbol{\sqrt{6+12\sqrt{3}}} \end{align} \blacktriangle \sqrt{6+12\sqrt{3}} はこれ以上簡単にならない
  4. まず、\text{AB}=\text{OB}\cos60^\circ=2\sqrt{6}\cdot\dfrac{1}{2}=\sqrt{6}

    4の図

    これより、\triangle\text{ABC}\angle\text{ABC} からみる余弦定理を用いて \begin{align} \cos\theta&=\dfrac{\text{AB}^2+\text{BC}^2-\text{AC}^2}{2\text{AB}\cdot\text{BC}}\\ &=\dfrac{6+36-\left(6+12\sqrt{3}\right)}{2\cdot\sqrt{6}\cdot6}\\ &=\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}} \end{align}

正多面体

正多面体

(注)
正多面体
正多面体

空間図形において、全ての面が合同な正多角形からなり、各頂点に集まる辺の数が全て等しい多面体のことを正多面体 (regular polyhedron) という。

(注)

正多面体は

  1. 正四面体
  2. 正六面体(立方体)
  3. 正八面体
  4. 正十二面体
  5. 正二十面体
の5つしかないことが知られている。

正四面体の計量

正四面体の計量
正四面体の計量

図のように、1辺の長さが 1 である正四面体 \text{ABCD} について以下の問に答えよ。

  1. \triangle\text{BCD} の面積 S を求めよ。
  2. 頂点 \text{A} から \triangle\text{BCD} に下ろした垂線の足を \text{H} をするとき、\text{AH} の長さを求めよ。
  3. 正四面体 \text{ABCD} に内接する球の半径を求めよ。
  4. 正四面体 \text{ABCD} に外接する球の半径を求めよ。

  1. \angle\text{CBD}=60^\circ であるから
    \blacktriangleleft 三角形の面積参照
    \begin{align} S&=\dfrac{1}{2}\text{BD}\cdot\text{BC}\sin60^\circ\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{4}} \end{align}
  2. まず、辺 \text{BC} の中点を \text{M} とおくと、\text{AM}\perp\text{BC}\text{DM}\perp\text{BC} となり、\text{H} は、\text{A} から \text{MD} におろした垂線の足であるとわかる。

    2の図
    2の図

    まず、\triangle\text{ABM} に三平方の定理を用いて \begin{align} \text{AM}^2=&\text{AB}^2-\text{BM}^2\\ =&1^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\ =&\dfrac{3}{4} \end{align} よって、\text{AM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}。同様に、\text{DM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} である。

    2の図

    次に、\angle\text{AMD}=\theta とおくと、\triangle\text{AMD} に点 \text{M} からみる余弦定理 \text{AD}^2=\text{MA}^2+\text{MD}^2-2\text{MA}\cdot\text{MD}\cos\theta を用いて \begin{align} \cos\theta&=\dfrac{\text{MA}^2+\text{MD}^2-\text{AD}^2}{2\text{MA}\cdot\text{MD}}\\ &=\dfrac{\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}-1^2}{2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{3} \end{align}

    \blacktriangleleft 拡張された三角比の相互関係参照
    であり、\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 より \begin{align} \sin\theta=&\sqrt{1-\cos^2\theta}\\ =&\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}\\ =&\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \end{align}
    2の図
    よって、\text{AH} の長さは \text{AH}=\text{AM}\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{3}}

    【別解:\text{H}\triangle\text{BCD} の重心であることを使う】

    まず、辺 \text{BC} の中点を \text{M} とおくと、\text{AM}\perp\text{BC} となるので、\triangle\text{ABM} に三平方の定理を用いて \begin{align} \text{AM}^2=&\text{AB}^2-\text{BM}^2\\ =&1^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\ =&\dfrac{3}{4} \end{align} よって、\text{AM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}。同様に、\text{DM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} である。

    \blacktriangleleft ここまでは上の解答と共通

    次に、正四面体の対称性から、点\text{H}\triangle\text{BCD} の重心となるので \text{MH}:\text{HD}=1:2、つまり \text{MH}=\dfrac{1}{3}\text{DM}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}

    2の図
    最後に、\triangle\text{AMH} に三平方の定理を用いて \begin{align} \text{AH}^2 &=\text{AM}^2-\text{MH}^2=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{36}\\ &=\dfrac{27-3}{36}=\dfrac{2}{3} \end{align} よって、\text{AH}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{3}} となる。

  3. 内接球の中心の点を \text{O} とし、その半径を r とおく。このとき、正四面体は4つの正三角錐 \text{OABC}\text{OACD}\text{OADB}\text{OBCD} に分けることができる。

    3の図

    これらの正三角錐の体積は、どれも \dfrac{1}{3}\times{S}\times{r} であるから、正四面体 \text{ABCD} の体積 V\begin{align} V=&4\times\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}r\\ =&\dfrac{\sqrt{3}r}{3}\tag{1}\label{seitamentai1} \end{align} また、1、2より正四面体 \text{ABCD} の体積 V\begin{align} V=&\dfrac{1}{3}\times{S}\times\text{AH}\\ =&\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{3}\\ =&\dfrac{\sqrt{2}}{12}\tag{2}\label{seitamentai2} \end{align} よって、\eqref{seitamentai1}\eqref{seitamentai2} より \begin{align} &\dfrac{\sqrt{3}r}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}~~\Leftrightarrow~~r=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{12}} \end{align}

  4. \text{M} を辺 \text{BC} の中点にとり、\text{H}\text{H'} を右図のようにとる。

    4の図

    図形の対称性から、外接球の中心 \text{O}\text{AH} 上および \text{DH'} 上にあるのがわかる。

    \text{H}\triangle\text{BCD} の重心だから \text{DH}=\text{DM}{\times}\dfrac{2}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}{\times}\dfrac{2}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} となる。同様に、\text{AH'}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} である。

    ここで、\text{AO}=r とおくと、\triangle\text{AH'O}\sim\triangle\text{AHM} より \begin{align} &\text{AH'}:\text{AO}=\text{AH}:\text{AM}\\ \therefore~&\dfrac{\sqrt{3}}{3}:r=\dfrac{\sqrt{6}}{3}:\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{\sqrt{6}}{3}r=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow~&r=\dfrac{3}{2\sqrt{6}}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{4}} \end{align}

正多角錐

正多角錐

空間図形において、底面が正多角形で、側面が二等辺三角形で作られ、側面の頂点が一点に集まっている多面体のことを正多角錐 (regular pyramid) という(正角錐ともいう)。底面が正 n 角形の正多角錐のことを正 n 角錐といい、n3 以上の自然数をとりうる。

正三角錐と正四角錐
正三角錐と正四角錐

右の図は正三角錐と正四角錐である。底面の形状がわかり易いように底面を上にしてある。

正四角錐の計量

正四角錐の計量
正四角錐の計量

右図のように、底面の1辺の長さが 2、高さ \text{OH}1 である正四角錐 \text{OABCD} について以下の問に答えよ。

  1. 底面と側面のなす角 \alpha を求めよ。
  2. \text{A} から辺 \text{OB} に下ろした垂線 \text{AE} の長さを求めよ。
  3. 隣り合う2つの側面のなす角 \beta を求めよ。

  1. 1の図

    \text{AB} の中点を \text{M} とおくと、\triangle\text{OAB}\triangle\text{HAB} は共に二等辺三角形であるから、\text{OM}\perp\text{AB}\text{HM}\perp\text{AB} である。よって、\angle\text{OMH} が底面と側面のなす角 \alpha である。

    いま、直角三角形 \text{OMH} において、\text{OH}=\text{HM}=1 より、\boldsymbol{\alpha=45^{\circ}} となる。これは、他の側面についても同様である。

  2. \angle\text{OBA}=\theta とおくと、三平方の定理より

    2の図
    \begin{align} \text{OB}=&\sqrt{\text{OH}^2+\text{BH}^2}\\ =&\sqrt{1^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}\\ =&\sqrt{3}\\ \text{OM}=&\sqrt{2} \end{align} である。

    \triangle\text{OBM} に着目して、\sin\theta=\dfrac{\text{OM}}{\text{OB}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3} となる。ここで、\triangle\text{ABE} に着目すれば、\text{AE}=\text{AB}\sin\theta=2\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{6}}{3}} である。

  3. 3の図

    \triangle\text{OAB}\equiv\triangle\text{OCB} であり、\text{AE}\perp\text{OB} より、\text{CE}\perp\text{OB}。よって、\angle\text{AEC} が求める角 \beta である。

    \triangle\text{AEC} に点 \text{E} からみる余弦定理を用いると \begin{align} \cos\beta=&\dfrac{\text{AE}^2+\text{CE}^2-\text{AC}^2}{2\text{AE}\cdot\text{CE}}\\ =&\dfrac{2\text{AE}^2-\text{AC}^2}{2\text{AE}^2}\\ =&1-\dfrac{\left(2\sqrt{2}\ \right)^2}{2\left(\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\right)^2}\\ =&-\dfrac{1}{2} \end{align} よって、\boldsymbol{\beta=120^{\circ}} となる。