有名角以外の三角比

$30^\circ$ 、 $45^\circ$ 、 $60^\circ$ といった有名角を含む三角形を利用することで、有名角以外の角の三角比を求められる場合がある。ここでは、 $15^\circ$ 、 $75^\circ$ 、 $105^\circ$ 、 $165^\circ$ の三角比を考えてみよう。

$15^\circ$ 、 $75^\circ$ 、 $105^\circ$ 、 $165^\circ$ の三角比

$15^\circ$ 、 $75^\circ$ 、 $90^\circ$ の三角形を考える

（注）

$15^\circ$ に関する三角比を考えるため、まず図のような直角三角形 $\text{ABC}$ の $\text{AC}$ 、 $\text{AB}$ の長さを求めよう。

$15^\circ$ 、 $75^\circ$ 、 $90^\circ$ の三角形

$$15^\circ$、$75^\circ$、$90^\circ$ の三角形$

ここで、辺 $\text{AB}$ 上に点 $\text{D}$ を $\angle\text{CDB}=30^\circ$ となるようにとると、 $\angle\text{DCB}=60^\circ$ であるから、 $\angle\text{DCA}=75^\circ-60^\circ=15^\circ$ である。このとき、 $\angle\text{DCA}=\angle\text{DAC}=15^\circ$ となるから、 $\triangle\text{DCA}$ は二等辺三角形とわかる。

$\triangle\text{BCD}$ において、 $\text{BC}=1$ から $\text{DB}=\sqrt{3},~\text{DC}=2$ となり、また $\triangle\text{DCA}$ は二等辺三角形だったから $\text{AD}=\text{DC}=2$ となる。以上より、 $\text{AB}=2+\sqrt{3}$ とわかった。

さらに、直角三角形 $\text{ABC}$ に三平方の定理を用いて $\begin{align} \text{AC}=&\sqrt{\text{AB}^2+\text{BC}^2}\\ =&\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2+1^2}\\ =&\sqrt{7+4\sqrt{3}+1}\\ =&\sqrt{8+4\sqrt{3}} \end{align}$ ここで、 $\sqrt{8+4\sqrt{3}}$ の2重根号をはずすと（2重根号参照） $\begin{align} \sqrt{8+4\sqrt{3}}=&\sqrt{8+2\sqrt{12}}\\ =&\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}\\ =&\sqrt{6}+\sqrt{2} \end{align}$ より、 $\text{AC}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ となる。

$15^\circ$ の三角比とその周辺

以上から直角三角形 $\text{ABC}$ の3辺の長さは、図のようになる。

$15^\circ$ 、 $75^\circ$ 、 $90^\circ$ の三角形

$$15^\circ$、$75^\circ$、$90^\circ$ の三角形$

これより、 $15^\circ$ の三角比は以下のように求められる。 $\begin{align} \sin15^\circ=&\dfrac{\text{CB}}{\text{AC}}\\ =&\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\ =&\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}\\ =&\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \cos15^\circ=&\dfrac{\text{AB}}{\text{CA}}\\ =&\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\ =&\dfrac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}\\ =&\dfrac{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6-2}\\ =&\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan15^\circ=&\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}\\ =&\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}\\ =&2-\sqrt{3} \end{align}$

$15^\circ$ とその周辺の三角比

$\sin15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 、 $\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 、 $\tan15^\circ=2-\sqrt{3}$ を利用して、次の三角比を求めよ。

$\sin75^\circ$ 、 $\cos75^\circ$ 、 $\tan75^\circ$
$\sin105^\circ$ 、 $\cos105^\circ$ 、 $\tan105^\circ$
$\sin165^\circ$ 、 $\cos165^\circ$ 、 $\tan165^\circ$

$15^\circ$ とその周辺の三角比の解答

$75^\circ=90^\circ-15^\circ$ であるから、 $90^\circ-A$ の三角比より次のように求めることができる。
$\begin{align} \sin75^\circ=&\sin\left(90^\circ-15^\circ\right)\\ =&\cos15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \cos75^\circ=&\cos\left(90^\circ-15^\circ\right)\\ =&\sin15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \tan75^\circ=&\tan\left(90^\circ-15^\circ\right)\\ =&\dfrac{1}{\tan15^\circ}=\boldsymbol{2+\sqrt{3}} \end{align}$
$105^\circ=90^\circ+15^\circ$ であるから、 $90^\circ+\theta$ の三角比より次のように求めることができる。
$\begin{align} \sin105^\circ=&\sin\left(90^\circ+15^\circ\right)\\ =&\cos15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \cos105^\circ=&\cos\left(90^\circ+15^\circ\right)\\ =&-\sin15^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \tan105^\circ=&\tan\left(90^\circ+15^\circ\right)\\ =&-\dfrac{1}{\tan15^\circ}=\boldsymbol{-2-\sqrt{3}} \end{align}$
$165^\circ=180^\circ-15^\circ$ であるから、 $180^\circ-\theta$ の三角比より次のように求めることができる。
$\begin{align} \sin165^\circ=&\sin\left(180^\circ-15^\circ\right)\\ =&\sin15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \cos165^\circ=&\cos\left(180^\circ-15^\circ\right)\\ =&-\cos15^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \tan165^\circ=&\tan\left(180^\circ-15^\circ\right)\\ =&-\tan15^\circ=\boldsymbol{-2+\sqrt{3}} \end{align}$

$15^\circ$ とその周辺の三角比

次の図のような $A=15^\circ$ の直角三角形 $\text{ABC}$ において、 $\angle\text{DCB}=60^\circ$ となるように点 $\text{D}$ をとることにより、各辺の比がわかるので、以下のような三角比の値が求められる。

$$15^\circ$ とその周辺の三角比$

$\begin{cases} \sin15^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \cos15^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan15^\circ&=2-\sqrt{3} \end{cases}$

$\begin{cases} \sin75^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \cos75^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \tan75^\circ&=2+\sqrt{3} \end{cases}$

$\begin{cases} \sin105^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \cos105^\circ&=-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \tan105^\circ&=-2-\sqrt{3} \end{cases}$

$\begin{cases} \sin165^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \cos165^\circ&=-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan165^\circ&=-2+\sqrt{3} \end{cases}$

吹き出し $15^\circ$ の三角比とその周辺

例題でみたように、これらはすべて $15^\circ$ を基準とした $15^\circ,~90^\circ\pm15^\circ,~180^\circ-15^\circ$ の三角比なので、 $15^\circ$ の三角比から他の角度の三角比は簡単に導ける。 $15^\circ$ の三角比の値は覚えなくてもよいが、 $15^\circ$ を含む直角三角形から導けるようにしておこう。

これらの角以外にも、 $18^\circ$ 、 $36^\circ$ 、 $72^\circ$ 、 $144^\circ$ などの角も、特殊な三角形を考えることによって三角比を求めることができる。これらについては $36^\circ$ 、 $72^\circ$ などの三角比を参照のこと。

有名角以外の三角比

15∘15^\circ、75∘75^\circ、105∘105^\circ、165∘165^\circの三角比

15∘15^\circ、75∘75^\circ、90∘90^\circの三角形を考える

15∘15^\circ、75∘75^\circ、90∘90^\circ の三角形

15∘15^\circの三角比とその周辺

15∘15^\circ、75∘75^\circ、90∘90^\circ の三角形

15∘15^\circ とその周辺の三角比

15∘15^\circ とその周辺の三角比の解答

15∘15^\circ とその周辺の三角比

吹き出し15∘15^\circ の三角比とその周辺

$15^\circ$ 、 $75^\circ$ 、 $105^\circ$ 、 $165^\circ$ の三角比

$15^\circ$ 、 $75^\circ$ 、 $90^\circ$ の三角形を考える

$15^\circ$ 、 $75^\circ$ 、 $90^\circ$ の三角形

$15^\circ$ の三角比とその周辺

$15^\circ$ 、 $75^\circ$ 、 $90^\circ$ の三角形

$15^\circ$ とその周辺の三角比

$15^\circ$ とその周辺の三角比の解答

$15^\circ$ とその周辺の三角比

吹き出し $15^\circ$ の三角比とその周辺