変化の割合と傾き$a$

関数 $f(x)$ において、ある $x$ の範囲における「$x$ の増加量に対する $f(x)$ の増加量の比」を，その $x$ の範囲における変化の割合 (rateofchange) という。

$x$ 座標が，$x_0$ から $x_1$ に増加するときの $f(x)$ の変化の割合は \begin{align} （変化の割合）&=\dfrac{（f(x)の増加量）}{（xの増加量）}\\ &=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} \end{align}

変化の割合と傾きの関係の図

右図のように、直線 $y=ax+b$ が異なる2点 $(x_0,~ax_0+b)$、$(x_1,~ax_1+b)$ を通るとき

\begin{align} &(変化の割合)\\ =&\frac{(ax_1+b)-(ax_0+b)}{x_1-x_0}\\ =&\frac{ax_1-ax_0}{x_1-x_0}\\ =&\frac{a(x_1-x_0)}{x_1-x_0}\\ =&a\end{align} となり、1次関数の変化の割合は傾きと等しいことがわかる。