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変化の割合と傾きa

関数 f(x) において、ある x の範囲における「x の増加量に対する f(x) の増加量の比」を，その x の範囲における変化の割合 (rateofchange) という。

x 座標が，x0 から x1 に増加するときの f(x) の変化の割合は （変化の割合）=（f(x)の増加量）（xの増加量）=f(x1)−f(x0)x1−x0

変化の割合と傾きの関係の図

変化の割合と傾きの関係の図

右図のように、直線 y=ax+b が異なる2点 (x0, ax0+b)、(x1, ax1+b) を通るとき

(変化の割合)=(ax1+b)−(ax0+b)x1−x0=ax1−ax0x1−x0=a(x1−x0)x1−x0=a となり、1次関数の変化の割合は傾きと等しいことがわかる。

直線の傾き a

直線の傾きの図

直線の傾きの図

  • 1次関数の変化の割合は、常にそのグラフの傾きに等しい。
  • 異なる2点 (x0, y0)、(x1, y1) を通る直線の傾き a は次の式で求められる。 a=y1−y0x1−x0(=（yの増加量）(xの増加量）)

傾き a を求める

次の条件にあった1次関数の傾きを求めよ。

  1. x が 3 増えれば y は 6 増える1次関数
  2. x が 3 増えれば y は 6 減る1次関数
  3. グラフが2点 (0, 0)、(3, 6) を通る1次関数
  4. グラフが2点 (−3, 5)、(2, −5) を通る1次関数

  1. （傾き）=\dfrac{\text{（yの増加量）}}{\text{（xの増加量）}}=\dfrac{6}{3}=\boldsymbol{2}
  2. （傾き）=\dfrac{\text{（yの増加量）}}{\text{（xの増加量）}}=\dfrac{-6}{3}=\boldsymbol{-2}
    \blacktriangleleft 「6 減る」ことと「-6 増える」ことは同じ
  3. 傾きは \dfrac{6-0}{3-0}=\boldsymbol{2}
    \blacktriangleleft 直線の傾き a 参照
  4. 傾きは\dfrac{-5-5}{2-(-3)}=\dfrac{-10}{5}=\boldsymbol{-2}
    \blacktriangleleft 直線の傾き a 参照