1次不等式の応用

1次不等式の応用

  1. $\text{A}$ 地点から $15\text{km}$ 離れた $\text{B}$ 地点まで歩いた。はじめは急ぎ足で毎時 $5\text{km}$、途中から疲れたので毎時 $3\text{km}$ の速さで歩いた。所要時間が $4$ 時間以内のとき、急ぎ足で何 $\text{km}$ 以上歩いたか求めよ。
  2. $5\%$ の食塩水と $8\%$ の食塩水がある。$5\%$ の食塩水 $800\text{g}$ と $8\%$ の食塩水を何 $\text{g}$ か混ぜて、$6\%$ 以上の食塩水を作りたい。$8\%$ の食塩水を何 $\text{g}$ 以上混ぜればよいか求めよ。

  1. 急ぎ足で歩いた距離を $x\text{km}$ として、$x$ について解けばよい。

    1の図

    疲れて歩いた距離は $(15−x)\text{km}$ となり、歩くのにかかる時間はそれぞれ、$\dfrac{x}{5}$ 時間、$\dfrac{15-x}{3}$ 時間となる。

    $\blacktriangleleft$ $\dfrac{（道のり）}{（速さ）}=（時間）$

    全体の所要時間は $4$ 時間以内であるから \[\dfrac{x}{5}+\dfrac{15-x}{3}\leqq4\] を満たす $x$ を求めればよい。 \begin{align} &\dfrac{x}{5}+\dfrac{15-x}{3}\leqq4\\ \Leftrightarrow~&3x+5(15-x)\leqq60\\ \Leftrightarrow~&3x+75-5x\leqq60\\ \Leftrightarrow~&-2x\leqq-15\\ \Leftrightarrow~&x\geqq\dfrac{15}{2}=7.5 \end{align}

    $\blacktriangleleft$ 負の数を掛ける・割るときは逆符号

    よって、急ぎ足では$7.5$km以上歩いた。

  2. $8\%$ の食塩水を $x\text{g}$ 混ぜるとして、$x$ について解けばよい。

    食塩水の量(g)食塩の量(g)
    $5\%$$800$$\dfrac{5}{100}\times800$
    $8\%$$x$$\dfrac{8}{100}x$
    $800+x$$\dfrac{5}{100}\times 800+\dfrac{8}{100}x$

    $5\%$ の食塩水 $800\text{g}$ の中には $\left(\dfrac{5}{100}\times800\right)\text{g}$ の食塩が溶けている。また、混ぜる $8\%$ の食塩水 $x\text{g}$ の中には、$\left(\dfrac{8}{100}\times\text{x}\right)\text{g}$ の食塩が溶けている。

    これらを混ぜて、濃度が $6\%$ 以上になるから \begin{align} &\left(\dfrac{5}{100}\times800+\dfrac{8}{100}\times\text{x}\right)\\ &\qquad\div(800+x)\geqq\dfrac{6}{100} \end{align} を満たす $x$ を求めればよい。 \begin{align} &\left(\dfrac{5}{100}\times800+\dfrac{8}{100}\times\text{x}\right)\\ &\qquad\div(800+x)\geqq\dfrac{6}{100}\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{5}{100}\times800+\dfrac{8}{100}\times\text{x}\\ &\qquad\geqq\dfrac{6}{100}\times(800+x)\\ \Leftrightarrow~&5\times800+8\times\text{x}\geqq6\times(800+x)\\ \Leftrightarrow~&4000+8x\geqq4800+6x\\ \Leftrightarrow~&2x\geqq800\\ \Leftrightarrow~&x\geqq400 \end{align} よって、$8\%$ の食塩水は $400\text{g}$ 以上混ぜればよい。