三角比の拡張について
三角比の定義を、斜辺が $1$ である直角三角形 $\text{OPQ}$ において考えてみよう。
斜辺の長さが $1$ である直角三角形
すると、正弦、余弦、正接はそれぞれ
\begin{align}
\sin{\theta}=&\dfrac{\text{PQ}}{\text{OP}}=\text{PQ}\\
\cos{\theta}=&\dfrac{\text{OQ}}{\text{PO}}=\text{OQ}\\
\tan{\theta}=&\dfrac{\text{QP}}{\text{OQ}}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
\end{align}
と書ける。つまり、斜辺の長さが $1$ である直角三角形では
「対辺の長さは $\sin\theta$ の値を表し、底辺の長さは $\cos\theta$ の値を表す」
ことがわかる。
直角三角形を単位円の中に描く
この $\triangle{\text{OPQ}}$ を、図のように単位円の（上半分の）中に描いてみよう。そのようにすれば、
- $\text{P}$ の $x$ 座標が $\cos\theta$
- $\text{P}$ の $y$ 座標が $\sin\theta$
このように、「単位円周上の点の座標」として三角比をとらえなおすと、角度が鋭角でなくても三角比を考えることができる。そこで、$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の範囲にある角 $\theta$ の三角比を、次のように定義しなおそう。
三角比の拡張
三角比の拡張
点 $\text{O}$ を原点とする座標平面上に単位円の上半分をとり、その周上に一点 $\text{P}$ をとる。
$x$ 軸の正の部分 $\text{OX}$ に対し、$\angle\text{POX}$ を $\theta(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)$ とするとき \begin{align} &\cos\theta=(点\text{P}のx座標)\\ &\sin\theta=(点\text{P}のy座標)\\ &\tan\theta=\dfrac{(点\text{P}のy座標)}{(点\text{P}のx座標)}=(直線\text{OP}の傾き) \end{align} とする。
ただし、点 $\text{P}$ の $x$ 座標が $0$ のとき、つまり $\theta=90^\circ$ のときは $\tan\theta$ を定義しない。
たとえば、$\theta$ が鈍角のときは次のようになる。
- 例：$120^\circ$ の三角比図より、 \begin{align} \cos120^\circ&=-\dfrac{1}{2}\\ \sin120^\circ&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan120^\circ&=-\sqrt{3} \end{align} （$\triangle{\text{OPQ}}$ が $\text{QO}:\text{OP}:\text{PQ}=1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形であることに注意しよう。）
- 例：$180^\circ$ の三角比図より、 \begin{align} \cos180^\circ&=-1\\ \sin180^\circ&=0\\ \tan180^\circ&=0 \end{align}
