放物線と$x$軸の位置関係-判別式D

放物線と $x$ 軸との位置関係については、次の3つのパターンに分けられる。ただし、グラフは下に凸な場合のものである。

1. $x$ 軸と2つの共有点をもつ
   
2. $x$ 軸と1つの共有点をもつ
   
3. $x$ 軸と共有点をもたない
   

$y=2(x+2)^2-7$

たとえば、放物線 $y=2x^2+8x+1$ は平方完成によって \begin{align} y=&2x^2+8x+1\\ =&2\{x^2+4x\}+1\\ =&2\left\{\left(x+2\right)^2-4\right\}+1\\ =&2(x+2)^2-7 \end{align} となり、頂点の座標は $(-2,~-7)$ とわかる。特に、頂点の $y$ 座標は負であるから、グラフは右上図のようになり、上のパターンiであることがわかる。

このように、2次関数が与えられたとき、頂点の $y$ 座標の符号を調べれば、グラフがこの3つのパターンのうちどれに属するかを知ることができる。

では、一般の放物線 $y=ax^2+bx+c~(a\neq0)$ について考えてみよう。『$y=ax^2+bx+c$ のグラフ』で学んだように、平方完成は \[y=ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\] となる。そして $a\gt0$ の場合は、この頂点の $y$ 座標の値 $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ の負・$0$・正が上のパターンi・ii・iiiと対応している。

$-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ の符号は、分子の $b^2-4ac$ と分母にある $a$ の符号がわかれば確定する。($a$ の正負は、グラフが下に凸か上に凸かを決めているだけなので、$b^2-4ac$ の符号を調べれば2次関数と $x$ 軸との位置関係を判別できる。)そこで、分子に表れる $b^2-4ac$ という式を判別式 (discriminant) とよび、$D$ であらわす。

いま、この判別式 $D$ の符号に着目して放物線と $x$ 軸との位置関係を調べると、次のようにまとめることができる。

$a\gt0$ の図

$a\lt0$ の図

以上の結果について、$x$ 軸との共有点の数だけに着目すれば、$a$ の正負によらず次のようにまとめられる。