平面図形の面積比

右の図のように、相似比が $m:n$ である2つの三角形の面積比 $S:S'$ を考えてみよう。

相似比が $m:n$ であるから、底辺の比は $m:n$ 、高さの比も $m:n$ となるので、左側の三角形の底辺と高さをそれぞれ $a$ 、 $h$ とすると、左の図の右側の三角形の底辺と高さは $a\times\dfrac{n}{m}$ 、 $h\times\dfrac{n}{m}$ となる。

これより、 $S:S'$ は $\begin{align} S:S'=&\dfrac{1}{2}ah:\dfrac{1}{2}\dfrac{an}{m}\cdot\dfrac{hn}{m}\\ =&1:\dfrac{n^2}{m^2}\\ =&m^2:n^2 \end{align}$ となる。

三角形でなく任意の多角形の場合でも、ある頂点から他の頂点に対角線を引くことで三角形の分割できるので、この式は任意の多角形で成り立つ。

また、多角形に限らず一般的な平面図形においても、この式は成り立つ。

相似な平面図形の面積比

相似比が $m:n$ である2つの平面図形について、その面積比は $m^2:n^2$ である。

右の図において、 $\text{AD}:\text{DB}=1:2$ 、 $\text{AE}:\text{EC}=1:2$ であるとする。

$\triangle\text{ADE}$ と $\triangle\text{ABC}$ について、 $\text{AD}:\text{AB}=\text{AE}:\text{AC}=1:3$ 、 $\angle\text{A}$ は共通であるので、 $\triangle\text{ADE}\sim\triangle\text{ABC}$ である。
$\blacktriangleleft$ 相似比が $m:n$ のとき、面積比は $m^2:n^2$
相似比は $1:3$ なので、面積比は $1^2:3^2=\boldsymbol{1:9}$ である。
また、 $\triangle\text{ADE}\sim\triangle\text{ABC}$ より $\angle\text{ADE}=\angle\text{ABC}$ なので $\text{DE}\parallel\text{BC}$ 。これより、 $\triangle\text{FDE}\sim\triangle\text{FBC}$ である。
相似比は $\text{DE}:\text{BC}=1:3$ なので、面積比は $1^2:3^2=\boldsymbol{1:9}$ である。
$\triangle\text{DEF}$ の面積を $S$ とおくと、1より $\triangle\text{FCB}=9S$ である。また
- $\text{EF}:\text{FB}=1:3$ より $\triangle\text{DBF}=3S$
- $\text{DF}:\text{FC}=1:3$ より $\triangle\text{EFC}=3S$
であるので、四角形 \text{DECB}=S+3S+3S+9S=16S。
ここで、1より $\triangle\text{ADE}\sim\triangle\text{ABC}=1:9$ より
四角形\text{DECB}:\triangle\text{ABC}=8:9
となるので、 $\triangle\text{ABC}=16S\times\dfrac{9}{8}=18S$ 。
よって、 $\triangle\text{ADE}$ と $\triangle\text{ABC}$ の面積比は $S:18S=\boldsymbol{1:18}$ である。