数学B 第3章 数学的帰納法 — 基本的な数学的帰納法

1. n=1 のとき

   (左辺)=Σk(k+1)=1・2=2 (右辺)=1/3・1・2・3=2

   となるので、確かに ① は成り立つ。

2. n=m のとき( m はある自然数とする) ① が成り立つと仮定する、つまり

   Σk(k+1) =(1/3)m(m+1)(m+2) ②

   を仮定する。

   このとき、 ① で n=m+1 とおいた等式

   Σk(k+1) =1/3(m+1)(m+2)(m+3) ③

   が成り立つのを以下に示す。

   仮定 ② を使えるような形にするため Σk(k+1) をくくり出す

   (③の左辺) =Σk(k+1) =1・2+2・3+3・4+… +m(m+1)+(m+1)(m+2) =Σk(k+1)+(m+1)(m+2) =(1/3)m(m+1)(m+2)+(m+1)(m+2) ∵② =(m+1)(m+2)((1/3)m+1) ↑共通因数(m+1)(m+2)でくくった =(m+1)(m+2)(m+3)/3 =1/3(m+1)(m+2)(m+3) =(③の右辺)

   よって、 n=m のとき ① が成り立つと仮定すれば、 n=m+1 の場合も ① が成り立つことがいえた。

以上の1。2。によって、数学的帰納法からすべての自然数 n について、 ① は成り立つ。

1. n=1 のとき

   (左辺)=3¹=3 (右辺)=1+1=2

   となるので、確かに ① は成り立つ。

2. n=m のとき( m はある自然数とする) ① が成り立つと仮定する、つまり

   3^m> m+1 ②

   を仮定する。

   このとき、 ① で n=m+1 とおいた不等式

   3^m+1> m+2 ③

   が成り立つのを以下に示す。

   仮定 ② を使えるような形にするため 3^m をくくり出す

   (③の左辺) = 3^m+1 = 3・3^m > 3・(m+1) ∵② = 3m+3 = m+2+(2m+1) > m+2 ∵2m+1>0 = (③の右辺)

   よって、 n=m のとき ① が成り立つと仮定すれば、 n=m+1 の場合も ① が成り立つことがいえた。

以上の1。2。によって、数学的帰納法からすべての自然数 n について、 ① は成り立つ。

1. n=2 のとき

   p²+(1-p)・2-1 = p²-2p+1 = (1-p)²

   となるので、確かに ① は成り立つ。

2. n=m のとき( m は2以上のある自然数とする) ① が成り立つと仮定する、つまり

   p^m+(1-p)m-1 =(1-p)²Q(p) ②

   を満たす p の整式 Q(p) が存在すると仮定する。

   このとき、 ① で n=m+1 とおいた等式

   p^m+1+(1-p)(m+1)-1 =(1-p)²R(p) ③

   を満たす p の整式 R(p) が存在することを以下に示す。

   仮定 ② を使えるような形をうまくつくる

   (③の左辺) =p・ p^m+m+1-pm-p-1 =p・ p^m+m-pm-p =p{p^m+(1-p)m-1②の左辺を強引につくる}-p{(1-p)m-1}ずれた分のつじつま合わせ +m-pm-p =p(1-p)²Q(p)-mp(1-p) +p+m-pm-p ∵② =p(1-p)²Q(p)-pm+mp²+m-pm =p(1-p)²Q(p)+m(p²-2p+1) =p(1-p)²Q(p)+m(1-p)² =(1-p)²(pQ(p)+m) ↑共通因数(1-p)²でくくった

   Q(p) は整式だから pQ(p)+m も整式となり、これを R(p) とおくと

   (③の左辺) =(1-p)²R(p) =(③の右辺)

   よって、 n=m のとき ① が成り立つと仮定すれば、 n=m+1 の場合も ① が成り立つことがいえた。

以上の1。2。によって、数学的帰納法から2以上のすべての自然数 n について、 ① は成り立つ。