内分点・外分点の位置ベクトル

3点が1直線上にある条件

ベクトルの伸縮

無題
無題

たとえば，右図のように直線$\text{ OA}$ 上に点$\text{ X}$ があり，$\text{ OA} : \text{ AX} = 3 : 2$ であったとする．このとき，$\overrightarrow{\text{OX}}$ は$\overrightarrow{\text{OA}}$ を「伸縮する」ことによって表すことができ

\[\overrightarrow{\text{OX}} = \dfrac{5}{3}\overrightarrow{\text{OA}}\]

と書ける．

3点が一直線上にある条件

3 点$\text{ A，B，C}$ が一直線上にあるのは，ベクトル$\overrightarrow{\text{AC}}$ が$\overrightarrow{\text{AB}}$ を「伸縮する」ことによって表すことができる場合である．つまり，

\[\overrightarrow{\text{AC}} = k\overrightarrow{\text{AB}}\]

となる実数$k$ が存在することである．

3 点が一直線上にある条件

3 点$\text{ A，B，C}$ が一直線上にある

$\Longleftrightarrow \overrightarrow{\text{AC}} = k\overrightarrow{\text{AB}}$ となる実数$k$ が存在する

内分点・外分点の位置ベクトル

内分点の位置ベクトル

無題
無題

右図のように，点$\text{ O}$ に関して2 点，$\text{ A}(\vec{a})，\text{ B}(\vec{b})$ をとるとき，線分$\text{ AB}$ を$m : n$ の比に内分する点$\text{ X}$ の位置ベクトルである$\vec{x}$ は，$\vec{a}，\vec{b}，m，n $を用いて次のように表すことができる．

\begin{align} \vec{x} &=\overrightarrow{\text{OX}}\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AX}}\\ &\qquad \because ベクトルの分解\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m + n}\overrightarrow{\text{AB}} \\ &\qquad \because ベクトルの伸縮\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m + n}\left(\overrightarrow{\text{OB }}−\overrightarrow{\text{OA}}\right) \\ &\qquad \because 始点を\text{ O} にする\\ &=\left(1 − \dfrac{m}{m + n}\right) \overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m + n}\overrightarrow{\text{OB}}\\ &= \dfrac{n}{m + n}\overrightarrow{\text{OA}} +\dfrac{m}{m + n}\overrightarrow{\text{OB}}\\ &= \dfrac{n\overrightarrow{\text{OA}} + m\overrightarrow{\text{OB}}}{m + n} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n} \end{align}

内分点の位置ベクトル

2 点$\text{A} (\vec{a})，\text{B} (\vec{b})$ を結ぶ線分$\text{AB}$ を$m : n$ の比に内分する点$\text{X} (\vec{x})$ において，$\vec{x}$ は

\[\vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}\]

と表すことができる．

無題
無題

この式$\vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}$の分子$n\vec{a} + m\vec{b}$ は，右図の太線で表したようにたすきをかけたような形になっていると覚えるとよい．

外分点の位置ベクトル

無題
無題 （注）

右図のように，点$\text{O}$ に関して2 点，$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ をとるとき，線分$\text{AB}$ を$m : n$ の比に外分する点$\text{X}$ の位置ベクトルである$\vec{x}$ は，$\vec{a}，\vec{b}，m，n$ を用いて次のように表すことができる．

\begin{align} \vec{x} &=\overrightarrow{\text{OX}}\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AX}}\\ &\qquad \because ベクトルの分解\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m - n}\overrightarrow{\text{AB}}\\ &\qquad \because ベクトルの伸縮\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m - n}\left(\overrightarrow{\text{OB }}−\overrightarrow{\text{OA}}\right)\\ &\qquad \because 始点をO にする\\ &=\left(1 − \dfrac{m}{m - n}\right) \overrightarrow{\text{OA }}+ \dfrac{m}{m - n}\overrightarrow{\text{OB}}\\ &=\dfrac{-n}{m - n}\overrightarrow{\text{OA }}+ \dfrac{m}{m - n}\overrightarrow{\text{OB}}\\ &=\dfrac{−n\overrightarrow{\text{OA}} + m\overrightarrow{\text{OB}}}{m - n} = \dfrac{−n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n} \end{align}

外分点の位置ベクトル

2 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分$\text{AB}$ を$m : n$ の比に外分する点$\text{X}(\vec{x})$ において，$\vec{x}$ は

\[\vec{x} =\dfrac{−n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n}\]

と表すことができる．

無題
無題 （注）

この式は，「$m : n$ に外分すること」は「$m : −n$ に内分すること」と等しいと覚えるとよい．また，$\vec{x} =\dfrac{−n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n}$は分母・分子に$−1$ をかけることにより

\[\vec{x} =\dfrac{−(−n\vec{a} + m\vec{b})}{−(m − n)} = \dfrac{n\vec{a} − m\vec{b}}{n - m}\]

とも書けるので，「$−m : n$ に内分すること」とも等しいことがわかる．

内分点・外分点の座標

原点を$\text{O}(0, 0)$ とする座標平面上に2 点$\text{A}(a_x, a_y)，\text{B}(b_x, b_y)$ があり，線分$\text{AB}$ を$m : n$ に内分する点を$\text{X}$ とするとき，点$\text{X}$ の座標を求めよ．

また，線分$\text{AB}$ を$m : n$ に外分する点を$\text{Y}$ とするとき，点$\text{Y}$ の座標を求めよ．

内分点の位置ベクトルの式から

\[\overrightarrow{\text{OX}} = \dfrac{n\overrightarrow{\text{OA}} + m\overrightarrow{\text{OB}}}{m + n}\] \[= \dfrac{n}{m + n}\overrightarrow{\text{OA}} +\dfrac{ m}{m + n}\overrightarrow{\text{OB}}\]

であり，これに$\overrightarrow{\text{OA }}=\dbinom{a_x}{a_y}，\overrightarrow{\text{OB}} =\dbinom{b_x}{b_y}$を用いて

\begin{align} \overrightarrow{\text{OX}} &= \dfrac{n}{m + n}\dbinom{a_x}{a_y}+\dfrac{m}{m + n}\dbinom{b_x}{b_y}\\ &= \dfrac{1}{m + n}\dbinom{na_x}{na_y}+ \dfrac{1}{m + n} \dbinom{mb_x}{mb_y}\\ &= \dfrac{1}{m + n} \dbinom{na_x + mb_x}{na_y + mb_y} \end{align}

よって，点$\text{X}$ の座標は$ \boldsymbol{\left( \dfrac{na_x + mb_x}{m + n} , \dfrac{na_y + mb_y}{m + n} \right)}$ となる．

また，外分点の位置ベクトルの式から

\[\overrightarrow{\text{OY}} =\dfrac{−n\overrightarrow{\text{OA}} + m\overrightarrow{\text{OB}}}{m – n}\] \[ =\dfrac{−n}{m – n}\overrightarrow{\text{OA }}+ \dfrac{m}{m – n}\overrightarrow{\text{OB }}\] $\blacktriangleleft$ 「$m : n$ に外分」は「$m : −n$ に内分」することと同じ

であり，これに$\overrightarrow{\text{OA}} =\dbinom{a_x}{a_y}，\overrightarrow{\text{OB}} =\dbinom{b_x}{b_y}$を用いて

\begin{align} \overrightarrow{\text{OX}} &=\dfrac{-n}{m – n}\dbinom{a_x}{a_y}+ \dfrac{m}{m – n}\dbinom{b_x}{b_y}\\ &=\dfrac{1}{m – n}\dbinom{-na_x}{-na_y}+ \dfrac{1}{m – n} \dbinom{mb_x}{mb_y}\\ &= \dfrac{1}{m – n} \dbinom{−na_x + mb_x}{−na_y + mb_y} \end{align}

よって，点$\text{Y}$ の座標は$\boldsymbol{\left( \dfrac{−na_x + mb_x}{m – n} ,\dfrac{−na_y + mb_y}{m – n}\right)}$ となる．

上の例題の結果は，FTEXT数学II の『図形と方程式』でみた結果と一致する．

3 点が一直線上にある条件

$\triangle \text{ABC}$ の辺$\text{AB}$ を$1 : 2$ に内分する点を$\text{P}$，辺$\text{BC}$ を$3 : 1$ に外分する点を$\text{Q}$，辺$\text{CA}$を$2 : 3$ に内分する点を$\text{R}$ とするとき．3 点$\text{P}，\text{Q}，\text{R}$ は一直線上にあることを示せ．

無題
無題

【証明】

$\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c}$ とおくと，$\overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vec{b}$，$\overrightarrow{\text{AQ}} =\dfrac{−\vec{b} + 3\vec{c}}{3 – 1} =\dfrac{−\vec{b} + 3\vec{c}}{2}$，$\overrightarrow{\text{AR}} = \dfrac{3}{5}\vec{c} $と表すことができる．

よって

\begin{align} \overrightarrow{\text{PQ}} &=\overrightarrow{\text{AQ}} −\overrightarrow{\text{AP}} = − \dfrac{5}{6}\vec{b} + \dfrac{3}{2}\vec{c}\\ \overrightarrow{\text{PR}} &=\overrightarrow{\text{AR}} −\overrightarrow{\text{AP}} = − \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{3}{5}\vec{c} \end{align}

以上より，$\overrightarrow{\text{PR}} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{\text{PQ}}$ であり，$\text{P}，\text{Q}，\text{R}$ は同一直線上にある．

重心の位置ベクトル

$\triangle \text{ABC}$ の重心を$\text{G}$ とする．

  1. $\overrightarrow{\text{AG}} $を$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ を用いて表せ．
  2. ある基準点$\text{O}$ からの位置ベクトルが，$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})，\text{C}(\vec{c})$ となるとき，重心の位置ベクトル$\text{G}(\vec{g})$ を$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ で表せ．

  1. 辺$\text{BC}$ の中点を$\text{M}$ とおくと，重心の定義より$\text{BM} :\text{CM} = 1 : 1$ であるから

    \[\overrightarrow{\text{AM}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}\]

    また，重心の性質より$\text{AG} : \text{GM} = 2 : 1 $であるから

    \begin{align} \overrightarrow{\text{AG}} &= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{AM}}\\ &= \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB }}+ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}\right)\\ &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AC}} \end{align}

    よって，$\overrightarrow{\text{AG}} =\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}\overrightarrow{\text{AB}} + \boldsymbol{\dfrac{1}{3}}\overrightarrow{\text{AC}} $となる．

  2. $\overrightarrow{\text{OG }}=\overrightarrow{\text{OA }}+\overrightarrow{\text{AG}}$ であるから

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OG}} &= \vec{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB }}+ \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AC}}\\ &= \vec{a} + \dfrac{1}{3}\left(\vec{b} − \vec{a}\right)+ \dfrac{1}{3}\left(\vec{c} − \vec{a}\right)\\ &= \dfrac{1}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c} \end{align}

    よって，$\boldsymbol{\vec{g} =\dfrac{1}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c}}$となる．

内心の位置ベクトル

$\text{AB} = c，\text{BC} = a，\text{CA} = b$ である$\triangle \text{ABC}$ の内心を$\text{I}$ とする．

  1. $\overrightarrow{\text{AI}}$ を$\overrightarrow{\text{AB }}$と$\overrightarrow{\text{AC }}$を用いて表せ．
  2. ある基準点$\text{O}$ からの位置ベクトルが，$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})，\text{C}(\vec{c})$ となるとき，内心の位置ベクトル$\text{I}(\vec{i})$ を$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ で表せ．

  1. 直線$\text{AI }$と線分$\text{BC}$ の交点を$\text{D} $とすると，内心の定義より$\angle\text{BAD} = \angle\text{CAD} $である．よって，角の二等分線の定理より$\text{BD} : \text{DC} = c : b$ となるから

    \[\overrightarrow{\text{AD }}= \dfrac{b}{b + c}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{c}{b + c}\overrightarrow{\text{AC}}\]

    であり

    \[\text{BD} = \dfrac{c}{b + c}\cdot a = \dfrac{ac}{b + c}\]

    である．

    また，内心の定義より$\angle\text{ABI} = \angle\text{DBI}$ である．よって，角の二等分線の定理より

    \[\text{AI} : \text{ ID} = \text{AB} : \text{BD}\] \[ = c : \dfrac{ac}{b + c} = b + c : a\]

    である．

    以上より

    \begin{align} \overrightarrow{\text{AI}} &= \dfrac{\text{AI}}{\text{AD}}\overrightarrow{\text{AD}}\\ &= \dfrac{b + c}{a + b + c}\\ &\qquad \cdot \left(\dfrac{b}{b + c}\overrightarrow{\text{AB }}+ \dfrac{c}{b + c}\overrightarrow{\text{AC}}\right)\\ &=\dfrac{b}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{ c}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AC}} \end{align} よって，$\boldsymbol{\overrightarrow{\text{AI}} =\dfrac{b}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{ c}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AC}}}$となる．

  2. $\overrightarrow{\text{OI }}=\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{AI}} $であるから

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OI}} &= \vec{a} + \dfrac{b}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{ c}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AC}}\\ &= \vec{a} +\dfrac{ b}{a + b + c}\left(\vec{b} − \vec{a}\right)\\ &\qquad + \dfrac{ c}{a + b + c}\left(\vec{c} − \vec{a}\right)\\ &=\dfrac{a}{a + b + c}\vec{a} + \dfrac{b}{a + b + c}\vec{b} \\ &\qquad \qquad \qquad + \dfrac{ c}{a + b + c}\vec{c} \end{align}

    よって

    \[\boldsymbol{\vec{i} =\dfrac{a}{a + b + c}\vec{a}+ \dfrac{b}{a + b + c}\vec{b}}\] \[\qquad \qquad \qquad \boldsymbol{+ \dfrac{ c}{a + b + c}\vec{c}}\]

    となる．