ベクトルの内積

ベクトルの正射影

ベクトルのなす角の定義

ベクトルのなす角その1
ベクトルのなす角その1

$\vec{0}$ でない2 つの $\vec{a}，\vec{b}$ に対して，点 $\text{O}$ を始点として

\[\vec{a} =\overrightarrow{\text{OA}},~\vec{b} =\overrightarrow{\text{OB}}\]

となるように点 $\text{A}，\text{B}$ をとる．このとき，$\angle \text{AOB}$ の大きさ $\theta$ は，$\vec{a}，\vec{b}$ によって決まる．この $\theta$ を，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角(included angle) という．

ベクトルのなす角その2
ベクトルのなす角その2

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が同じ向きのときは $0^\circ$ であり，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ 向きがすれるにつれだんだん大きくなり，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が開ききって互いに逆向きとなるとき $180^\circ$ となる．

ベクトルのなす角その3

ベクトルのなす角その3

それ以上ベクトルが開いたときには，角度の狭いほうをなす角とするので，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の取り得る範囲は $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ となる．

ベクトルの正射影と有向距離

（注）

ベクトルの正射影と有向距離の図その１

$\vec{0}$ でない2 つの$\vec{a}，\vec{b}$ に対して，点$\text{O}$ を始点として

\[\vec{a} =\overrightarrow{\text{OA}} , \vec{b} =\overrightarrow{\text{OB}}\]

となるように点$\text{A}，\text{B}$ をとる．

いま，右図の点$\text{B}$ からから直線$\text{OA}$ に下ろした垂線の足を$\text{H}$ とする．このとき，$\overrightarrow{\text{OH}}$を$\vec{b}$ の$\vec{a}$ への正射影(orthogonal projection) ベクトルといい$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ と表す．正射影ベクトル$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ は，$\vec{a}，\vec{b}$ とそのなす角$\theta$を用いて次のように表すことができる．

  1. $\boldsymbol{0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ}$ のとき

    ベクトルの正射影と有向距離の図その２
    \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}} \\ &= \dfrac{\text{OB}\cos \theta}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}



    2. ベクトルの正射影と有向距離の図その３

  2. $\boldsymbol{90^\circ < \theta \leqq 180^\circ}$ のとき

    \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= − \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}} \\ &= −\dfrac{\text{OB} \cos(180^\circ − \theta)}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}

つまり，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ で$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} =\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}$と表せる．この$\left|\vec{b}\right| \cos \theta$の値のことを，$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$の有向距離または符号付長さという．

なお，$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の大きさは

\[\left|_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}\right| =\left|\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}\right|\] \[=\dfrac{\left|\vec{b} \cos \theta\right|}{\left|\vec{a}\right|}\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b} \cos \theta\right|\]

で表される．

【例】

ベクトルの正射影と有向距離の図その４

ますめの一辺の長さが1 の右図において

  1. $_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$4$
  2. $_{\vec{c}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$4$
  3. $_{\vec{d}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$0$
  4. $_{\vec{e}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$−2$
  5. $_{\vec{f}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$−4$

となる．

ベクトルの内積

ベクトルの内積の定義

無題
無題

任意の2 つのベクトル，$\vec{a}，\vec{b}$ に対して内積(inner product) という演算$\boldsymbol{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ を次のように定義する．

  1. $\boldsymbol{\vec{a} \neq \vec{0}}$ かつ$\boldsymbol{\vec{b} \neq \vec{0} }$のとき

    「$\vec{a}$ の大きさに，$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離をかけたもの」，すなわち

    \[\vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right| \times \left|\vec{b} \right|\cos\theta\]

    とする．ここで，$\theta$ は$\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角である．

  2. $\boldsymbol{\vec{a} = \vec{0}}$ または$\boldsymbol{\vec{b} = \vec{0}}$ のとき

    \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

    とする．

ベクトルの内積

$\vec{a}，\vec{b}$ に対して，内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \cos \theta\]

とする．ここで，$\theta$ は$\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角である．

また，$\vec{a} = \vec{0}$ または$\vec{b} = \vec{0}$ のとき，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$とする．

正射影ベクトルの内積での表し方

無題
無題

$\vec{b}$ の$\vec{a}$ への正射影ベクトル$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ は

\begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}\\ &=\dfrac{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a}\\ &\qquad \because 分母分子に\left|\vec{a}\right| をかけた\\ &=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a}\\ &\qquad \because \vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right| \cos \theta \end{align}

と表すことができる．

内積の計算法則

（注）

ベクトルの内積に関して，次の計算法則が成り立つ．

内積に関する計算法則

  1. 交換法則 \[\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\]
  2. 結合法則 \[\vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\]
  3. 分配法則 \[\vec{a} \cdot (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\]
  4. \[\vec{a} \cdot \vec{a} \geqq 0\]

【証明】

ゼロベクトルを含む場合の成立は明らかなので，以下ベクトルはすべてゼロベクトルでないとする．

    内積の計算法則の図その１

  1. $\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角を$\theta$ とすると

    \begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \cos \theta\\ \vec{b} \cdot \vec{a} &= \left|\vec{b}\right| \left|\vec{a}\right| \cos \theta \end{align}

    より，$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

    2. 内積の計算法則の図その２

  2. 右図において，$_{k\vec{b}\rightarrow}\vec{a} = k_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ より

    \[\dfrac{\vec{a} \cdot (k\vec{b})}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a} = k\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a}\]

    $\vec{a} \neq \vec{0}$ だから，係数を比較して

    \[\dfrac{\vec{a} \cdot (k\vec{b})}{\left|\vec{a}\right|^2} = k\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\] \[\Leftrightarrow \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) \]
    3. 内積の計算法則の図その３

  3. 右図において，$_{(\vec{b}+\vec{c})\rightarrow}\vec{a} =_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} +_{\vec{c}\rightarrow}\vec{a}$ より

    \begin{align} \dfrac{\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a} &=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a} +\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a}\\ \Leftrightarrow \dfrac{\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a} &=\left(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2} +\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\left|\vec{a}\right|^2}\right)\vec{a} \end{align}

    $\vec{a} \neq \vec{0}$ だから，係数を比較して

    \[\dfrac{\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})}{\left|\vec{a}\right|^2} =\left(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2} +\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\left|\vec{a}\right|^2}\right)\] \[\Leftrightarrow \vec{a} \cdot (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \]

  4. 等しいベクトルどうしのなす角は$0^\circ$ であるから

    \[\vec{a} \cdot \vec{a} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{a}\right|\cos 0^\circ= \left|\vec{a}\right|^2\geqq 0 \] 等号成立は$\left|\vec{a}\right| = 0$，つまり$\vec{a} = 0 $のときに限る．

内積の計算法則

次の計算が成り立つことを，内積の定義および内積の計算法則1.～3.を用いて証明せよ．なお，2. を証明する際には1. を使ってよい．

  1. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$
  2. $(s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (u\vec{a} + v\vec{b}) $
    $= su \left|\vec{a}\right|^2+ (sv + tu)\vec{a} \cdot \vec{b} + tv \left|\vec{b}\right|^2$

  1. \begin{align} &(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}\\ &= \vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則1.\\ &= \vec{c} \cdot \vec{a} +\vec{c} \cdot \vec{b} \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則3.\\ &= \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則1. \end{align}
  2. \begin{align} &(s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (u\vec{a} + v\vec{b})\\ &= (s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (u\vec{a}) + (s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (v\vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則3.\\ &= (s\vec{a}) \cdot (u\vec{a}) + (t\vec{b}) \cdot (u\vec{a}) \\ &\qquad + (s\vec{a}) \cdot (v\vec{b}) + (t\vec{b}) \cdot (v\vec{b})\\ &\qquad \blacktriangleleft 1.\\ &= su(\vec{a} \cdot \vec{a}) + tu(\vec{b} \cdot \vec{a}) \\ &\qquad + sv(\vec{a} \cdot \vec{b}) + tv(\vec{b} \cdot \vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則2.\\ &= su(\vec{a} \cdot \vec{a}) + (tu + sv)\vec{a} \cdot \vec{b} + tv(\vec{b} \cdot \vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則1.\\ &= su \left|\vec{a}\right|^2+ (tu + sv)\vec{a} \cdot \vec{b} + tv \left|\vec{b}\right|^2\\ &\qquad \blacktriangleleft 定義 \end{align}

意味のある演算とない演算

次に表す式のうち，無意味なものには×を，意味のあるものには○つけよ．

  1. $ \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} $
  2. $ (\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} $
  3. $ \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}$
  4. $ \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c}) $
  5. $\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a}}$
  6. $\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|}$

  1. （×）$\vec{a}$ はベクトルで$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は実数．よって，ベクトルと実数の和となり無意味である．
  2. （○）$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は実数で$\vec{c}$ はベクトル．よって，$\vec{c}$ の$\vec{a} \cdot \vec{b}$ 倍の意味をもつ．
  3. （×）2 つの$\cdot$のうち，どちらを内積の記号とみるかで意味するものが異なるので無意味である．
  4. （○）$\vec{b} \cdot \vec{c}$ は実数で$\vec{a}$ はベクトル．よって，$\vec{a}$ の$\vec{b} \cdot \vec{c}$ 倍の意味をもつ．
  5. （×）ベクトルに除法はないので，分母に$\vec{a}$ がある時点で無意味である．
  6. （○）$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は実数で$\left|\vec{a}\right|$ も実数であるのでその比を表す．

成分表示された平面ベクトルの内積

成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$の内積について考えてみよう．

まず， $\vec{e_x} =\dbinom{1}{0}，\vec{e_y} =\dbinom{0}{1}$という2 つのベクトル（基本ベクトル(fundamental vector) ）をとる．それぞれのベクトルの大きさは$1$ であり，なす角は$90^\circ$ であるから

\[\left|\vec{e_x} \right| = \left|\vec{e_y} \right| = 1 \tag{1}\label{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki1}\] \[\vec{e_x} \cdot \vec{e_y} = 0 \tag{2}\label{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki2}\] \[\qquad \because \left|\vec{e_x} \right| \left|\vec{e_y} \right| \cos 90^\circ = 0\]

が成り立つ．

ここで，$\vec{a}$ は

\begin{align} \vec{a} &=\dbinom{a_x}{a_y}=\dbinom{a_x}{0}+\dbinom{0}{a_y}\\ &=a_x\dbinom{1}{0}+a_y\dbinom{0}{1} \end{align} であるから，$\vec{a}$ を$\vec{e_x}，\vec{e_y}$ に分解すると \[\vec{a} = a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} \tag{3}\label{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki3}\]

となる．

同様にして

\[\vec{b} = b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} \tag{4}\label{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki4}\]

となる．

よって， $\eqref{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki3}， \eqref{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki4}$より

\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= (a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y}) \cdot (b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y})\\ &= a_xb_x \left|\vec{e_x} \right|^2+ (a_xb_y + a_yb_x) \vec{e_x} \cdot \vec{e_y} \\ &\qquad \qquad \qquad \qquad + a_yb_y \left|\vec{e_y} \right|^2\\ &= a_xb_x \left|\vec{e_x} \right|^2+ a_yb_y \left|\vec{e_y} \right|^2\\ &\qquad \because \eqref{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki2}\\ &= a_xb_x + a_yb_y \\ &\qquad \because \eqref{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki1} \end{align}

となる．

成分表示されたベクトルの内積

$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$のとき

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y\]

となる．

暗記ベクトルを用いた三角形の面積公式

無題
無題

右の図のように，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる三角形の面積を$S$とする．

  1. $S$ を$\left|\vec{a}\right|$ と$\left|\vec{b}\right|$ と$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を用いて表せ．
  2. $\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$であるとき，$S$ を$a_x，a_y，b_x，b_y$ を用いて表せ．
  3. 座標平面上に3 点$\text{A}(2, 1)，\text{B}(7, 2)，\text{C}(4, 5)$ をとる．このとき，$\triangle \text{ABC}$ の面積を求めよ．

    ベクトルを用いた三角形の面積公式の解答の図その１

  1. $\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ とおき， $\left|\vec{a}\right|$ を三角形の底辺とみると，高さは $\left|\vec{b}\right| \sin \theta$ とかけるから，三角形の面積$S$ は

    \begin{align} S &= \dfrac{1}{2}\left|\vec{a}\right| \times \left|\vec{b}\right| \sin \theta \\ &\qquad \blacktriangleleft S = \dfrac{1}{2}(底辺)\times(高さ)\\ &= \dfrac{1}{2}\left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \sqrt{1 − \cos^2 \theta}\\ &\qquad \blacktriangleleft \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より\\ &\qquad \sin^2 \theta = 1 −\cos^2 \theta であり，\\ &\qquad 0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ より\\ &\qquad \sin \theta \geqq 0 だから\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - \left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 \cos^2 \theta}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}\\ &\qquad \blacktriangleleft 内積の定義 \end{align}

    よって，$\boldsymbol{S =\dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}}$と表せる．

  2. $\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$のとき

    \begin{align} \left|\vec{a}\right| &= \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2}\\ \left|\vec{b}\right| &= \sqrt{{b_x}^2 + {b_y}^2}\\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_xb_x + a_yb_y \end{align}

    であるから，$S =\dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$に代入して

    \begin{align} S&=\dfrac{1}{2}\left(({a_x}^2 + {a_y}^2)( {b_x}^2 + {b_y}^2)\right.\\ &\qquad \qquad \qquad \quad \left.- (a_xb_x + a_yb_y)^2\right)^{\frac{1}{2}}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{{a_x}^2{b_y}^2+{b_x}^2{a_y}^2-2a_xb_xa_yb_y}\\ &=\dfrac{1}{2}\sqrt{ (a_xb_y - b_xa_y)^2}\\ &=\dfrac{1}{2}\left| a_xb_y - b_xa_y \right| \end{align}

    よって，$\boldsymbol{S =\dfrac{1}{2}\left| a_xb_y - b_xa_y \right|}$と表せる．

  3. \begin{align} \overrightarrow{\text{AB}} &=\overrightarrow{\text{OB}} −\overrightarrow{\text{OA}} \\ &=\dbinom{7}{2}−\dbinom{2}{1}=\dbinom{5}{1}，\\ \overrightarrow{\text{AC}} &=\overrightarrow{\text{OC}} −\overrightarrow{\text{OA}} \\ &=\dbinom{4}{5}−\dbinom{2}{1}=\dbinom{2}{4} \end{align}

    より，$\triangle \text{ABC}$ の面積$S’$は

    \[S’= \dfrac{1}{2}\left|5 \cdot 4 − 1 \cdot 2\right| = \boldsymbol{9}\]

ベクトルを用いた三角形の面積公式

$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$のとき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる三角形の面積$S$ は

\[S = \dfrac{1}{2}\left|a_xb_y – b_xa_y\right|\]

ベクトルの垂直条件

$\vec{0}$ でない2 つのベクトル，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角が$90^\circ$ とき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ は垂直(perpendicular) であるといい，$\boldsymbol{\vec{a}\perp\vec{b}}$ と表す．また，$\vec{0}$ はすべてのベクトルに対し垂直と定める．

このとき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ の内積は，$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right| \cos 90^\circ= 0$ となる．逆に，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ならば$\vec{a}\perp\vec{b}$ といえる．つまり

\[\vec{a}\perp\vec{b} \Longleftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

である．

また，成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}$と$\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$が垂直であるとき

\[\dbinom{a_x}{a_y}\cdot\dbinom{b_x}{b_y}= 0 \Longleftrightarrow a_xb_x + a_yb_y = 0\]

が成り立つ．

ベクトルの垂直条件

$\vec{a} \neq \vec{0}，\vec{b} \neq \vec{0}$ であり，$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$とする．

\[\vec{a}\perp\vec{b} \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \] \[\Longleftrightarrow a_xb_x + a_yb_y = 0\]

外心の位置ベクトル

$\text{AB} = 3，\text{BC} = 7，\text{CA} = 5$ である$\triangle \text{ABC}$ がある．$\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c}，\triangle \text{ABC}$ の外心を$\text{O}$ とするとき，以下の問いに答えよ．

  1. $\vec{b} \cdot \vec{c}$ を求めよ．
  2. $\overrightarrow{\text{AO}}$ を$\vec{b}$ と$\vec{c}$ をもちいて表せ．

  1. $\triangle \text{ABC}$ に$\angle \text{A}$ からみる余弦定理を使うと

    $\blacktriangleleft \text{BC}^2 = \text{AB}^2+ \text{AC}^2−2\cdot \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta$ \begin{align} \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta &= \dfrac{\text{AB}^2+ \text{AC}^2− \text{BC}^2}{2}\\ &= \dfrac{9 + 25 – 49}{2} =\dfrac{−15}{2} \end{align}

    であるから

    \[\vec{b} \cdot \vec{c} = \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta = \boldsymbol{\dfrac{−15}{2}}\]
  2. 外心の位置ベクトルの図

    $\overrightarrow{\text{AO}} = x\vec{b} + y\vec{c}$ とおく．

    まず，$\overrightarrow{\text{DO}}$ と$\overrightarrow{\text{AB}}$ は直交するから

    \begin{align} & \overrightarrow{\text{DO}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AO}} − \overrightarrow{\text{AD}}\right)\cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \dfrac{1}{2}\vec{b}\right)\cdot \vec{b} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x − \dfrac{1}{2}\right) \left|\vec{b}\right|^2+ y\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow 9\left(x − \dfrac{1}{2}\right)+ y\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow 9\left(x − \dfrac{1}{2}\right)− \dfrac{15}{2}y = 0 \tag{1}\label{gaishinnoitibekutoru1} \end{align}

    また，$\overrightarrow{\text{EO}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ は直交するから

    \begin{align} & \overrightarrow{\text{EO}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AO}} − \overrightarrow{\text{AE}}\right) \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \dfrac{1}{2}\vec{c}\right)\cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow x\vec{b} \cdot \vec{c} +\left(y − \dfrac{1}{2}\right)\left|\vec{c}\right|^2= 0\\ &\Leftrightarrow x\vec{b} \cdot \vec{c} + 25\left(y − \dfrac{1}{2}\right)= 0\\ &\Leftrightarrow − \dfrac{15}{2}x + 25\left(y − \dfrac{1}{2}\right)= 0 \tag{2}\label{gaishinnoitibekutoru2} \end{align}

    式$\eqref{gaishinnoitibekutoru1}，\eqref{gaishinnoitibekutoru2}$を連立して

    \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 6x − 5y = 3\\ −3x + 10y = 5\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{11}{9}\\ y = \dfrac{13}{15}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}

    よって，$\overrightarrow{\text{AO}} \boldsymbol{=\dfrac{11}{9}\vec{b} + \dfrac{13}{15}\vec{c}}$．

垂心の位置ベクトル

$\text{AB} = 5，\text{BC} = 6，\text{CA} = 4$ である$\triangle \text{ABC}$ がある．$\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c}，\triangle \text{ABC}$ の垂心を$\text{H}$ とするとき，以下の問いに答えよ．

  1. $\vec{b} \cdot \vec{c}$ を求めよ．
  2. $\overrightarrow{\text{AH}}$ を$\vec{b}$ と$\vec{c}$ をもちいて表せ．

【解答1：直交条件を使う】

  1. $\triangle \text{ABC}$ に$\angle \text{A}$ からにらむ余弦定理を使うと

    $\blacktriangleleft \text{BC}^2 = \text{AB}^2+ \text{AC}^2−2\cdot \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta$ \begin{align} \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta &= \dfrac{\text{AB}^2+ \text{AC}^2− \text{BC}^2}{2}\\ &= \dfrac{25 + 16 – 36}{2} =\dfrac{5}{2} \end{align}

    であるから，$\vec{b} \cdot \vec{c} = \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta = \boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$

  2. 重心の位置ベクトルの図

    $\overrightarrow{\text{AH}} = x\vec{b} + y\vec{c}$ とおく．

    まず，$\overrightarrow{\text{CH}}$ と$\overrightarrow{\text{AB}}$ は直交するから

    \begin{align} & \overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AH}} − \overrightarrow{\text{AC}}\right)\cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \vec{c}\right)\cdot \vec{b} = 0\\ &\Leftrightarrow x\left|\vec{b}\right|^2+ (y-1)\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow 25x+ (y-1)\dfrac{5}{2} = 0\\ &\Leftrightarrow 10x+y = 1 \tag{1}\label{juushinnoitibekutoru1} \end{align}

    また，$\overrightarrow{\text{BH}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ は直交するから

    \begin{align} & \overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AH}} − \overrightarrow{\text{AB}}\right) \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \vec{b}\right)\cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow (x-1)\vec{b} \cdot \vec{c} +y\left|\vec{c}\right|^2= 0\\ &\Leftrightarrow (x-1)\dfrac{5}{2} + 16y= 0\\ &\Leftrightarrow 5x+32y= 5 \tag{2}\label{juushinnoitibekutoru2} \end{align}

    式$\eqref{juushinnoitibekutoru1}，\eqref{juushinnoitibekutoru2}$を連立して

    \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 10x + y = 1\\ 5x + 32y = 5\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{3}{35}\\ y = \dfrac{1}{7}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}

    よって，$\overrightarrow{\text{AH}} \boldsymbol{=\dfrac{3}{35}\vec{b} + \dfrac{1}{7}\vec{c}}$．

【解答2：正射影ベクトル＆一次独立を使う】
  1. （【解答1】と同じ）

  2. ベクトルの正射影を考え

    重心の位置ベクトルの図その２
    \[\overrightarrow{\text{AD}} =\dfrac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{\left|\vec{b}\right|^2}\vec{b} =\dfrac{\dfrac{5}{2}}{25}\vec{b} = \dfrac{1}{10}\vec{b} \tag{1}\label{juushinnoitibekutorukaitou21}\]

    同様にして

    \[\overrightarrow{\text{AE}} = \dfrac{5}{32}\vec{c} \tag{2}\label{juushinnoitibekutorukaitou22}\]

    である．

    まず，点$\text{H}$ は線分$\text{BE}$ 上にあるから，$\text{BH} : \text{HE} = s :1 – s$ とおくと

    \begin{align} \overrightarrow{\text{AH}} &= (1 − s)\overrightarrow{\text{AB}} + s\overrightarrow{\text{AE}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} &= (1 − s)\vec{b} + \dfrac{5s}{32}\vec{c} \tag{3}\label{juushinnoitibekutorukaitou23} \end{align} $\blacktriangleleft\eqref{juushinnoitibekutorukaitou22}$より

    また，点$\text{H}$ は線分$\text{CD}$ 上にあるから，$\text{CH} : \text{HD} = t :1 – t$ とおくと

    \begin{align} \overrightarrow{\text{AH}} &= t\overrightarrow{\text{AD}} + (1 − t)\overrightarrow{\text{AC}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} &= \dfrac{t}{10}\vec{b} + (1 − t)\vec{c} \tag{4}\label{juushinnoitibekutorukaitou24} \end{align} $\blacktriangleleft\eqref{juushinnoitibekutorukaitou21}$より

    いま，$\vec{b}$ と$\vec{c}$ は1 次独立であるから， $\eqref{juushinnoitibekutorukaitou23}， \eqref{juushinnoitibekutorukaitou24}$ より

    \begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} 1 − s = \dfrac{t}{10}\\ \dfrac{5s}{32} = 1 – t\\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} 10s + t = 10\\ 5s + 32t = 32\\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} s =\dfrac{32}{35}\\ t = \dfrac{6}{7}\\ \end{array} \right. \end{align}

    よって，$\overrightarrow{\text{AH}} \boldsymbol{=\dfrac{3}{35}\vec{b} + \dfrac{1}{7}\vec{c}}$．