残りの体系
残りの体系について
ボールと箱のモデル9
ここでは，ボールと箱のモデルにおける体系の最後として， 下表の網掛け部分，つまり
「区別する $n$ 個のボールを，区別しない $r$ 個の箱に高々1個配る場合の数」
と
「区別しない $n$ 個のボールを，区別しない $r$ 個の箱に高々1個配る場合の数」
について考えてみよう．
| ボール・箱 | 単射 | 写像全て | 全射 | |
| あり・あり | 順列 | 重複順列 | 部屋割り | |
| なし・あり | 組合せ | 重複組合せ | 資源配分 | |
| あり・なし | （右枠の和） | 部屋割り（区別なし） | ||
| なし・なし | （右枠の和） | 資源配分（区別なし） |
実はこれらは非常に単純で， $n\leqq{k}$ の場合に1通りとなるだけである． 例えば，区別する3個のボールを区別しない4個の箱に高々1個配る場合の数は
の1通りしかない．
同じようにボールを区別しない場合でも
の1通りしかない．
また， $n\geqq{k}$ の場合には，すべての箱に1つずつボールを配っても，ボールが余ってしまうので0通りとする．