ベクトルの実数倍（空間）

ベクトルの実数倍の定義（空間）

「平面ベクトルの実数倍」と同じように，空間ベクトルの実数倍も定義する．

ベクトルの実数倍についての計算法則

  1. 結合法則

    \[m(n\vec{a}) = (mn)\vec{a}\]

  2. ベクトルの分配法則

    \[(m + n)\vec{a} = m\vec{a} + n\vec{a}\]

  3. 実数倍の分配法則

    \[m(\vec{a} + \vec{b}) = m\vec{a} + m\vec{b}\]

は，空間ベクトルの場合にもそのまま成り立つ．

また，単位ベクトルも同様に定義する．

成分表示された空間ベクトルの実数倍

成分表示された空間ベクトル$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right)$ に関して，実数倍$m\vec{a}$ は \[m\vec{a} = m \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} ma_x\\ ma_y\\ ma_z\\ \end{array} \right)\]

となる．

空間ベクトルの平行条件

（注）

2 つの空間ベクトル$\vec{a}，\vec{b}$ の平行に関しても，平面の場合と同様に

$\vec{a} \parallel \vec{b}$ $\Longleftrightarrow$ $\vec{a} = k\vec{b}$となる$k \in R$ が存在する

である．

また，成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right)$ と$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ が平行であるとき

\begin{align} \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) =k \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right) &\Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) =k \left( \begin{array}{c} kb_x\\ kb_y\\ kb_z\\ \end{array} \right)\\ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_x = kb_x\\ a_y = kb_y\\ a_z = kb_z\\ \end{array} \right. &\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=\dfrac{a_x}{b_x}\\ k=\dfrac{a_y}{b_y}\\ k=\dfrac{a_z}{b_z}\\ \end{array} \right. \end{align}

より$(k =)\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}=\dfrac{a_z}{b_z}$，つまり

$a_xb_y = a_yb_x$かつ$a_yb_z = a_zb_y$

が成り立つ．

空間ベクトルの成分

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2\\ 3\\ −4\\ \end{array} \right) ，\vec{c} = \left( \begin{array}{c} −2\\ 5\\ 4\\ \end{array} \right)$ のとき，以下の問いに答えよ．

  1. $\left|\vec{b}\right|$ を求めよ．
  2. $2\vec{a} − \vec{b} + 3\vec{c}$ の成分を求めよ．
  3. $\left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right|$ を求めよ．
  4. $\vec{x} +\vec{y} = 2\vec{a}$，$2\vec{x} +\vec{y} +\vec{z} = 2\vec{b}$，$\vec{x} + 3\vec{y} + 2\vec{z} = \vec{c}$ をみたす$\vec{x}，\vec{y}，\vec{z}$ の成分を求めよ．
  5. $\vec{b}$ と反対向きの単位ベクトルを求めよ．

  1. \[\left|\vec{b}\right| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (−4)^2} = \boldsymbol{\sqrt{29}}\] $\blacktriangleleft$ 『成分表示された空間ベクトルの大きさ』
  2. \begin{align} 2\vec{a} − \vec{b} + 3\vec{c} &= 2 \left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\ \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 2\\ 3\\ −4\\ \end{array} \right) +3 \left( \begin{array}{c} −2\\ 5\\ 4\\ \end{array} \right)\\ &= \left( \begin{array}{c} 2−2-6\\ 2-3+15\\ 2+4+12\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{−6}\\ \boldsymbol{14}\\ \boldsymbol{18}\\ \end{array} \right) \end{align}

  3. $\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}$ を成分で表すと

    \[\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 9\\ 1\\ \end{array} \right)\]

    となるので

    \[\left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right| = \sqrt{1^2 + 9^2 + 1^2} = \boldsymbol{\sqrt{83}}\] $\blacktriangleleft$ 『成分表示された空間ベクトルの大きさ』

  4. $\vec{x}，\vec{y}，\vec{z}$ を連立方程式として考えると

    \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \vec{x} +\vec{y} = \left( \begin{array}{c} 2\\ 2\\ 2\\ \end{array} \right)\\ 2\vec{x} +\vec{y} +\vec{z} = \left( \begin{array}{c} 4\\ 6\\ -8\\ \end{array} \right)\\ \vec{x} + 3\vec{y} + 2\vec{z} = \left( \begin{array}{c} -2\\ 5\\ 4\\ \end{array} \right)\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}

    上の式から、それぞれ $\tag{1}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou1}$ $\tag{2}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou2}$ $\tag{3}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou3}$ とする。

    $\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou1} \times 2 − \eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou2}$ より

    \[\vec{y} −\vec{z} = \left( \begin{array}{c} 0\\ -2\\ 12\\ \end{array} \right) \tag{4}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou4} \]

    $\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou3} \times \dfrac{1}{2} − \eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou1} \times \dfrac{1}{2}$より

    \[\vec{y} +\vec{z} = \left( \begin{array}{c} -2\\ \dfrac{3}{2}\\ 1\\ \end{array} \right) \tag{5}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou5} \] $\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou4}+ \eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou5}$ より \[2\vec{y} = \left( \begin{array}{c} -2\\ -\dfrac{1}{2}\\ 13\\ \end{array} \right) \Leftrightarrow \boldsymbol{\vec{y}} = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{-1}\\ \boldsymbol{-\dfrac{1}{4}}\\ \boldsymbol{\dfrac{13}{2}}\\ \end{array} \right) \tag{6}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou6}\]

    $\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou4}，\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou6}$より$\boldsymbol{\vec{z}} = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{-1}\\ \boldsymbol{\dfrac{7}{4}}\\ \boldsymbol{-\dfrac{11}{2}}\\ \end{array} \right)$ である．

    また， $\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou1}，\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou6}$ より$\boldsymbol{\vec{x}} = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{3}\\ \boldsymbol{\dfrac{9}{4}}\\ \boldsymbol{-\dfrac{9}{2}}\\ \end{array} \right)$ である．

  5. 1. より，求めるベクトルは

    \[− \dfrac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}= \boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{29}}} \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{-2}\\ \boldsymbol{-3}\\ \boldsymbol{4}\\ \end{array} \right)\]

空間ベクトルの平行条件

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2\\ −1\\ 5\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} z – 1\\ 2\\ z + 1\\ \end{array} \right)$ のとき，$\vec{a} \parallel \vec{b}$ となることはあるか．

もし，$\vec{a} \parallel \vec{b}$ ならば

空間ベクトルの平行条件$a_xb_y = a_yb_x$かつ$a_yb_z = a_zb_y$ つまり

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2 \cdot 2 = (−1) \cdot (z −1) \\ −1 \cdot (z + 1) = 5 \cdot 2 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}

上の式を$\tag{7}\label{kuukanbekutorunoheikoujoukennokaitou7}$,下の式を$\tag{8}\label{kuukanbekutorunoheikoujoukennokaitou8}$とする。

が成り立つはずである．だが， $\eqref{kuukanbekutorunoheikoujoukennokaitou7}$ より$z = −3$， $\eqref{kuukanbekutorunoheikoujoukennokaitou8}$ より $z = −11$ である．したがって，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ が平行となることは ない．