重複順列について
重複順列$_{n}\Pi_{r}$の定義
無題
例えば， 
の目が描いてある正四面体のさいころを2回振って，出た目を順に 1列に並べる場合の数は次のように求めることができる．
まず，1回目のさいころの目の出方は4通りある．
そして，2回目のさいころの目の出方も4通りある．
つまり，1回目の目の出方4通りに対して，2回目の目の出方も4通りに定まるから，さいころを2回振ったときの目の出方は積の法則より
\[4\times4=16通り\]となる．
右の図は，さいころを2回振ったときの目の出方16通りを樹形図を用いて表したものである．
ここで， $n$ 個のものから，繰り返し用いることを許して， $r$ 個とって並べる場合の順列を定義しておこう．
重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ の定義
「区別する $n$ 個のものから，繰り返し用いることを許して， $r$ 個取り出して1列に並べた列」 のことをn-r
この例では， $_{4}\Pi_{2}=4\times4=16$ である．
重複順列$_{n}\Pi_{r}$の計算
区別する $n$ 個のものから，繰り返し用いることを許して， $r$ 個取り出して1列に並べる順列の数 $_{n}\Pi_{r}$ も，先程の例と同じように考えることができる．
まず，1番目のものの取り方は $n$ 通りあり，2番目のものの取り方もそのそれぞれに対して $n$ 通りあり， 3番目のものの取り方もそのそれぞれに対して $n$ 通りあり， $\cdots$ ， $r$ 番目のものの取り方もそのそれぞれに対して $n$ 通りある．
したがって，積の法則より
\begin{align} _{n}\Pi_{r}&=\underbrace{n\times{n}\times\cdots\times{n}}_{r個の積}=n^r \end{align}と計算できることがわかる．
重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ の計算
重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ は
\[_{n}\Pi_{r}=n^r\]と計算できる．
重複順列の計算練習
次の値を求めよ.
- $_{4}\Pi_{2}$
- $_{5}\Pi_{2}$
- $_{6}\Pi_{3}$
- $_{8}\Pi_{4}$
- $_{4}\Pi_{2}=4^2=\boldsymbol{16}$
- $_{5}\Pi_{2}=5^2=\boldsymbol{25}$
- $_{6}\Pi_{3}=6^3=\boldsymbol{216}$
- $_{8}\Pi_{4}=8^4=\boldsymbol{4096}$
重複順列～その1～
7色の絵の具で3つの場所を塗る場合について次の問に答えよ．
- 同じ色を使わないで塗る方法は何通りあるか．
- 同じ色を使って塗る方法は何通りあるか．
- 最初の場所を塗るには7通りの色が選べ，そのそれぞれに対して，
- 3つの場所それぞれ，7通りの色が選べる． つまり，7つのものから繰り返しを許して3つ並べる重複順列となり \[_{7}\Pi_{3}=7^3=\boldsymbol{343}通り\]
次の場所を塗るには最初に使った絵の具以外の6通りの色が選べ，さらにそのそれぞれに対して， 最後の場所を塗るには5通りの色が選べる． つまり，7つのものから3つを選んで並べる順列となり
\[_{7}\mathrm{P}_{3}=\boldsymbol{210}通り\]ボールと箱のモデル2
無題
例えば， $_{5}\Pi_{3}$ の定義は
「区別する5個のものから，繰り返し用いることを許して，3個とりだして1列に並べるときの並べ方の総数」
であったが，これはボールと箱のモデルを使って
「区別する3個のボールを，区別する5個の箱に配る（何個でもよい）場合の総数」
といいかえることができる．それには，次のように考えるとよい．
準備として，ボールは区別するので番号をつけ，それを①，②，③とし， 箱も区別するので番号をつけ，それを
としておく．
まず，ボール①を箱に配ることを考えると，箱は5つあるので5通りの場合がある．
次に，ボール②を箱に配ることを考えると，箱には何個でもボールを入れてよいので，このときも5通りの場合がある．
さらに，ボール③を箱に配ることを考えると，同じように5通りの場合がある．
以上から，ボールの箱への配り方は $5\times5\times5$ 通りあり，これは $_{5}\Pi_{3}$ と一致する．
一般に，次のようにまとめることができる．
重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ のボールと箱のモデル
重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ はボールと箱のモデルを用いて
「区別する $r$ 個のボールを，区別する $n$ 個の箱に配る（何個でもよい）場合の総数」
と考えることができる．
重複順列～その2～
4桁の電話番号は0000から9999まで10000通りある． このうち，0007や3556のように同じ数字が連続しているものは何通りあるか． また，数字の1と6の両方を含むものは何通りあるか．
10000通りの電話番号を全体集合 $U$ として， $X$ を
\[X：同じ数字が連続しているもの\]とおく．まず $\overline{X}$ ，すなわち同じ数字が連続していないものについて考える．
左から順に数字を並べたとき，はじめの数字はなんでもよいので10通りあり， 左から2番目の数字は今並べた数字とは同じにならないようにするため9通りある． 左から3番目，4番目も同様に9通りあるので
\[n(\overline{X})=10\times9^3=7290\]よって
\begin{align} n(X)=&\ n(U)-n(\overline{X})\\ =&\ 10000-7290\\ =&\ \boldsymbol{2710} \end{align}通り
また
\[A：数字の1を含む\] \[B：数字の6を含む\]とおくと， $\overline{A}$ ，すなわち数字の1を含まないものは $9^4$ 通りあり， $\overline{B}$ ，すなわち数字の6を含まないものも同様に $9^4$ 通りあり， $\overline{A}\cap\overline{B}$ ，すなわち数字の1と6を含まないものは $8^4$ 通りあるので
\begin{align} n(A\cap{B}) =&\ n(U)-n(\overline{A\cap{B}})\\ =&\ n(U)-n(\overline{A}\cup\overline{B}) \\ =&\ n(U)-\\ &\left\{n(\overline{A})+n(\overline{B})-n(\overline{A}\cap{\overline{B}})\right\}\\ =&\ 10000-(9^4+9^4-8^4)\\ =&\ \boldsymbol{974} \end{align}通り