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無題

ボールと箱のモデルを使って

「区別する5個のボールを，区別する3個の箱に最低1個は配る場合の数」を考えてみよう．

準備として，ボールは区別するので番号をつけ，それを①，②，③，④，⑤とし，箱も区別するので番号をつけ，それを 3つの箱としておく．

集合 $A，B，C，U$ をそれぞれ

$A$ ：が空になる

$B$ ：が空になる

$C$ ：が空になる

$U$ ：ボールを適当に箱にしまう場合（空・重複有り）

とおくと，求めるものは $n(U)-n(A\cup{B}\cup{C})$ である．

$n(U)=3^5$ ←重複順列 $_{3}\Pi_{5}$

$n(A)=n(B)=n(C)=2^5$ ←1つ以上の箱が空になる場合

$n(A\cap{B})=n(B\cap{C})=n(C\cap{A})=1$ ←2つ（以上）の箱が空になる場合

$n(A\cap{B}\cap{C})=0$ ←全部の箱が空になる場合

であるから，包含と排除の原理を使って

\begin{align} &\ n(U)-n(A\cup{B}\cup{C})\\ =&\ n(U)-\{n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap{B})\\ &-n(B\cap{C})-n(C\cap{A})+n(A\cap{B}\cap{C})\}\\ =&\ n(U)-n(A)-n(B)-n(C)+n(A\cap{B})\\ &+n(B\cap{C})+n(C\cap{A})-n(A\cap{B}\cap{C})\\ =&\ 3^5-3\cdot2^5+3-0\\ =&\ 150 \end{align}

通りとなる．

ここで，ボールを箱へこのように配る方法を定義しておく．

ボールと箱のモデル3

無題

部屋割りの数room(n,r)の定義