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答えを推定してから数学的帰納法で証明する

「証明せよ」という問題でなくても,答えを予想できれば,それを証明することによって解答になる.

いろいろな数学的帰納法~その1~

漸化式

{a1=2an+1=2an1+an (n=1,2,)

で定められる数列の一般項 ann の式で表せ.

漸化式 an+1=2an1+ann=1 を代入すると

a2=2a11+a1=221+2=43

また, n=2 を代入すると

a3=2a21+a2=2431+43=87

また, n=3 を代入すると

a4=2a31+a3=2871+87=1615

となるので

an=2n2n1

と推定できる.

以下,この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する.

  1. n=1 のとき
  2. a1=21211=2

    となるので,確かに (2) は成り立つ.

  3. n=m のとき( m はある自然数とする) (2) が成り立つと仮定する,つまり
  4. am=2m2m1

    を仮定する.

    このとき, (2)n=m+1 とおいた場合の成立,つまり

    am+1=2m+12m+11

    が成り立つのを以下に示す.

    ((4))= am+1= 2am1+am

    よって, n=m のとき \eqref{ippankonokinoho3} が成り立つと仮定すれば, n=m+1 の場合も \eqref{ippankonokinoho3} が成り立つことがいえた.

1. 2. によって,数学的帰納法からすべての自然数 n について, \eqref{ippankonokinoho2} は成り立つ.

よって \eqref{ippankonokinoho1} の一般項は

\boldsymbol{a_n=\frac{2^n}{2^n-1}}