$n=1,2,\cdots,m$ を仮定して$n=m+1$ を示す

いろいろな数学的帰納法～その３～

次の式を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ．

\begin{align} \left(\sum_{k=1}^na_k\right)^2=\sum_{k=1}^n{a_k}^3,a_n\gt0\\ (n=1,2,3,\cdots)\\ \tag{1}\label{n=m+1no1} \end{align}

この問題は「証明せよ」ではないので，まず実験から答えを予想するところからはじめる．予想が立てば，それを証明してやるのだが， $n=m+1$ の場合の成立をいうのに， $n=1,2,\cdots,m-1,m$ の場合の成立を仮定する必要がある．

$\eqref{n=m+1no1}$ に $n=1$ を代入すると

\begin{align} &\left(\sum_{k=1}^1a_k\right)^2=\sum_{k=1}^1{a_k}^3\\ \Leftrightarrow\ &{a_1}^2={a_1}^3\\ \therefore\ &a_1=1 \end{align}

また $n=2$ を代入すると

\begin{align} &\left(\sum_{k=1}^2a_k\right)^2=\sum_{k=1}^2{a_k}^3\\ \Leftrightarrow\ &(a_1+a_2)^2={a_1}^3+{a_2}^3\\ \Leftrightarrow\ &(1+a_2)^2=1^3+{a_2}^3\\ \Leftrightarrow\ &{a_2}^3-{a_2}^2-2a_2=0\\ \Leftrightarrow\ &a_2(a_2+1)(a_2-2)=0\\ \therefore\ &a_2=2 \end{align}

また $n=3$ を代入すると

\begin{align} &\left(\sum_{k=1}^3a_k\right)^2=\sum_{k=1}^3{a_k}^3\\ \Leftrightarrow\ &(a_1+a_2+a_3)^2={a_1}^3+{a_2}^3+{a_3}^3\\ \Leftrightarrow\ &(1+2+a_3)^2=1^3+2^3+{a_3}^3\\ \Leftrightarrow\ &{a_3}^3-{a_3}^2-6a_3=0\\ \Leftrightarrow\ &a_3(a_3+2)(a_3-3)=0\\ \therefore\ &a_3=3 \end{align}

となるので

\[a_n=n\tag{2}\label{n=m+1no2}\]

と推定できる．

以下，この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．

  1. $n=1$ のとき
    2. \[a_1=1\]

    となるので，確かに $\eqref{n=m+1no2}$ は成り立つ．

  2. $n\leqq m$ ( $m$ はある自然数とする)を満たす全ての $n$ で， $\eqref{n=m+1no2}$ が成り立つと仮定する，つまり
    3. \[a_l=l\quad(1\leqq l\leqq m)\tag{3}\label{n=m+1no3}\]

    が成り立つと仮定する．

    このとき， $\eqref{n=m+1no2}$ で $n=m+1$ とおいた場合の成立，つまり

    \[a_{m+1}=m+1\tag{4}\label{n=m+1no4}\]

    が成り立つことを以下に示す．

    $\eqref{n=m+1no1}$ より

    \begin{align} &\left(\sum_{k=1}^{m+1}a_k\right)^2=\sum_{k=1}^{m+1}{a_k}^3\\ \Leftrightarrow\ &\left(\sum_{k=1}^ma_k+a_{m+1}\right)^2=\sum_{k=1}^m{a_k}^3+{a_{m+1}}^3\\ &\uparrow仮定\eqref{n=m+1no3}を組み込むための準備\\ \end{align}

    $l$ が $1\leqq l\leqq m$ のとき， $a_l=l$ となることを $\eqref{n=m+1no3}$ で仮定しているので $\displaystyle\sum_{k=1}^ma_k$ は

    \begin{align} \sum_{k=1}^ma_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_m\\ &=1+2+3+\cdots+m\\ &=\sum_{k=1}^mk \end{align}

    となる．よって

    \begin{align} &\left(\sum_{k=1}^ma_k+a_{m+1}\right)^2\\ &\qquad=\sum_{k=1}^m{a_k}^3+{a_{m+1}}^3\\ \Leftrightarrow\ &\left(\sum_{k=1}^mk+a_{m+1}\right)^2\\ &\qquad=\sum_{k=1}^mk^3+{a_{m+1}}^3\quad\because\eqref{n=m+1no3}\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\frac{m(m+1)}{2}+a_{m+1}\right\}^2\\ &\qquad=\frac{m^2(m+1)^2}{4}+{a_{m+1}}^3\\ \Leftrightarrow\ &\frac{m^2(m+1)^2}{4}+m(m+1)a_{m+1}\\ &\quad+{a_{m+1}}^2=\frac{m^2(m+1)^2}{4}+{a_{m+1}}^3\\ \Leftrightarrow\ &{a_{m+1}}^3-{a_{m+1}}^2-m(m+1)a_{m+1}=0\\ \Leftrightarrow\ &a_{m+1}(a_{m+1}+m)\\ &\{a_{m+1}-(m+1)\}=0\\ \therefore\ &a_{m+1}=m+1\quad(\eqref{n=m+1no4}がいえた) \end{align}

    よって， $n\leqq m$ のとき $\eqref{n=m+1no2}$ が成り立つと仮定すれば， $n=m+1$ の場合も $\eqref{n=m+1no2}$ が成り立つことがいえた．

1. 2. によって，数学的帰納法からすべての自然数 $n$ について， $\eqref{n=m+1no2}$ は成り立つ．

よって $\eqref{n=m+1no1}$ を満たす一般項 $a_n$ は

\[\boldsymbol{a_n=n}\]