ベクトルの1次独立の定義
1 次独立の定義
「$\vec{a}$ と$\vec{b}$ が1 次独立(linearly independent) である」とは
\[s\vec{a} + t\vec{b} = \vec{0}\]を満たす実数$s，t$ が$s = t = 0$ のときに限る，ことである．
たとえば，右図のように平行でない$\vec{a}，\vec{b}$ では
\[s\vec{a} + t\vec{b} = \vec{0}\]となる$s，t$ は$s = t = 0$ のときに限られるので，$\vec{a}$ と$\vec{b}$は1 次独立である．
また，左図のように平行な$\vec{a}，\vec{b}$ では，$s = t = 0$ のとき以外にも，たとえば$s = \dfrac{3}{2}，t = −1 $のときにも
\[s\vec{a} + t\vec{b} = \vec{0}\]を満たすので，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ は1 次独立であるとはいえない．
つまり，次のようなことがいえる．
1 次独立なベクトルと平行でないベクトル
$\vec{a}，\vec{b}$ が1 次独立であるならば，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ は平行でない．逆に，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ が平行でなければ，$\vec{a}，\vec{b}$ は1 次独立である．
つまり
「$\vec{a}$ と$\vec{b}$ が1 次独立」$\Longleftrightarrow\vec{a}\parallel \hspace{-.77em}/ \vec{b}$
である．
証明は背理法による．