数学B 第1章 数列の一般項と和 — いろいろな数列

(等差数列の項)(等比数列の項)

(等差数列の項)(等比数列の項)の和

一般項 が

で与えられる数列は，具体的に書くと

となる．

この数列は，各項の左側の数字は初項1，公差1の等差数列になっていて，各項の右側の数字は初項1，公比2の等比数列になっている．

この のように， で表される数列の，初項から第 項までの和は次のように求めることができる．

以下，STEP4までは，等比数列の和の求め方とまったく同じである．

STEP1

初項から第 項までの和 を書き下す．

STEP2

この式の辺々を2倍(公比倍)した式を書く．

STEP3

上の2つの式を並べる．このとき，下のように，2倍(公比倍)した式の方を右に1段ずらして書いておく．

STEP4

上の式から下の式を引く．

STEP5

このとき，必ず等比数列の和が現れるので，その部分を計算する．

式全体に を掛けて

を得る．

解法をまとめておこう．

分数列の和

一般項 が

で与えられる数列は，具体的に書くと

となる．

この数列は，各項の分母の左側の数字は初項1，公差1の等差数列になっていて，各項の分母の右側の数字は初項2，公差1の等比数列になっている．

この のように，一般項 で表される数列の，初項から第 項までの和は次のように求めることができる

STEP1

まず を分解する．このとき，下のように自分で とおく( の値は後で求める)．

分母の を分解して と にする

このような式変形を，部分分数分解(resolve into partial fractions)という．

STEP2

右辺を通分し， と等しくなるように を決定する．

これが， と等しくなるのは，(分子を比較して) のときである．これより

分解が完了した

という等式を得る．

STEP3

右辺の式を利用して，初項から第 項までの和を，具体的に書き出してみる．

STEP4

相殺して消える部分ができるので，下のように消していく．

よって

を得る．

解法をまとめておこう．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/146（取得日 2026-08-07）