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数学B 第1章 数列の一般項と和 — 記号

記号の定義

記号の定義

ここで，数列の和を表すのに便利な記号 を導入する

は和(sum)の頭文字 にあたるギリシア文字で，シグマと読む．

定義1 記号の定義 §

数列 の初項から，第 項までの和 を， 記号を用いて

と表す．

つまり， とは， において， として得られるすべての項 の和であると定義する．文字 の代わりに， などを用いてもよい．

また， ではなく からの和を表したいときには， と書けばよい．つまり

である．

記号に慣れる

まずは 記号に慣れるために，例題をみていくことにしよう．

問題1 記号の練習～その１～

次の和を， 記号を用いずに表せ(計算はしなくてよい)．

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次に数列の和を 記号に書き直してみよう．

問題2 記号の練習～その２～

次の和を， 記号を用いて表せ．

記号に書き直すときには，まずは数列の一般項を求めるとよい．そうすれば数列の和が

と表現することが出来るようになる．

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問題3 記号の練習～その３～

次の和はどれも同じことを表現していることを確認せよ．

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記号から数列の和に書き下して同一であることを確かめればよい．和はそれぞれ

となり，同じことを表現している．

の性質

の性質

を導入した理由は，数列の和を簡単に取り扱うためであった．つまり，

のような等差数列でも等比数列でもない数列についても和を考えやすくするためである．その際，よく利用される の計算法則があるので，まずはその計算法則を確認しよう． 記号に関して，次のことが成り立つ．

定理2 記号の性質 §
  2. は定数
証明

これらは，それぞれ

  1. 記号は和のところで分配できる
  2. 記号内の実数倍は 記号の

と意味をもたせて覚えるとよい．

この性質を利用すると，数列 の第 項までの和は

と簡単にすることができる．

あとは や がわかれば，数列 の和を求めることができるわけであるが，これら や については次の 記号の公式 でまとめて学習することにしよう．

∎

記号の公式

記号の公式

複雑な数列の和が計算できるように，ここでは 記号の公式を学んでいこう．

暗記1基本的な の計算～その１～

次の数列の和を求めよ．ただし， は定数とする．

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暗記2基本的な の計算～その２～

等式

を利用して

を証明せよ．

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なので

よって

定理3自然数の累乗の和 §

数列の和に関して，次の式がなりたつ．

問題4 の計算

次の数列の和を求めよ．

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等比数列の計算

は定数として， タイプの和は，すべて等比数列の和として求めることができる．

問題5等比数列の 計算

次の数列の和を求めよ．

解答を見る

繰り返しになるが， タイプの和は，等比数列の和として求めることができる．和を求める際には，数列の和を一度書き下してみて，初項と公比と項数をチェックすればよい．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/145（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08

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