数学B 第7章空間ベクトルと空間図形 — 空間ベクトルの1次独立

ベクトルの1次結合の定義（空間）

2 つの $a, b$ に関する1 次結合は、「ベクトルの1 次結合の定義」で見たように、適当な実数 $s, t$ を用いて

$sa + tb$

と表されるベクトルのことであった。

ここでは、これを拡張して、3 つの $a, b, c$ に関する1 次結合を次のように定義する。

定義11 次結合の定義

3 つのベクトル、 $a, b, c$ に対して、適当な実数 $s, t, u$ を用いて

$sa + tb + uc$

と表されるベクトルのことを、 $a, b, c$ の1 次結合という。

点Oから出るベクトルa、ベクトルb、ベクトルcの方向に、それぞれ3倍、2倍、1/2倍伸ばしたベクトルで作られる平行六面体が破線で表され、その対角線としてベクトルOPが描かれている。

たとえば、上の図の空間において $OP$ を $a, b, c$ の1次結合で表すと

$OP = 3a + 2b + (1/2)c$

とただ1通りに表せる。 $a, b, c$ が同一平面上にないときに表し方が1 通りに決まることは、この節の後半で示す。

点Oを始点とするベクトルa、ベクトルb、ベクトルcと、格子の対角線の先にある点Pが描かれている。ベクトルOPは、ベクトルaの方向に4コマ、ベクトルcの方向に2コマ進んだ矢印として示されている。

また、上の図の平面おいて、 $OP$ を $a, b, c$ の1次結合で表すと

$OP = 4a + 0b + 2c OP = 6a + 4b + 0c OP = 5a + 2b + c ⋮$

などいろいろな方法で表せる。

ベクトルの1次独立の定義（空間）

2 つの $a, b$ が1 次独立であることの定義は、「ベクトルの1 次独立の定義」で見たように

$sa + tb = 0$

を満たす実数 $s, t$ が $s = t = 0$ のときに限る、ことであった。

ここでは、これを拡張して、3 つの $a, b, c$ に関する1 次独立を次のように定義する。

定義21 次独立の定義

「 $a, b, c$ が1 次独立である」とは

$sa + tb + uc = 0$

を満たす実数 $s, t, u$ が $s = t = u = 0$ のときに限る、ことである。

点Oを始点とする3つのベクトルa、ベクトルb、ベクトルcがある。ベクトルaとベクトルbが作る平面は灰色で塗られており、ベクトルcはその平面から外れた方向に伸びている。

たとえば、上の図のように空間内にある $a, b, c$ では

$sa + tb + uc = 0$

となる $s, t, u$ は $s = t = u = 0$ のときに限られるので、 $a, b, c$ は1 次独立である。

始点Oを共有する3つのベクトルa、ベクトルb、ベクトルcが、点線の格子で表された同一平面上にある。ベクトルcは、ベクトルaの向きに1マス、ベクトルbの向きに2マス進んだ終点をもつ。

また、上の図のように同一平面上にある $a, b, c$ （ $c = a + 2b$ を満たす）では、 $s = t = u = 0$ のとき以外にも、たとえば $s = -1, t = -2, u = 1$ のときや、 $s = 2, t = 4, u = -2$ のときも

$sa + tb + uc = 0$

を満たすので、 $a, b, c$ は1 次独立であるとはいえない。

つまり、次のようなことがいえる。

定理31 次独立なベクトルと同一平面にないベクトル

$a, b, c$ が1 次独立であるならば、 $a, b, c$ は同一平面内にない。逆に、 $a, b, c$ が同一平面になければ、 $a, b, c$ は1 次独立である。

つまり

「 $a, b, c$ が1 次独立」 $\Leftrightarrow$ $a, b, c$ が同一平面内にない

である。

実際、 $sa + tb + uc = 0$ が $s = t = u = 0$ 以外の解をもち、その解で $u \neq 0$ であったとすると

$c = -(s/u)a - (t/u)b$

となり、 $c$ は $a, b$ の作る平面上のベクトルになってしまう。このように、 $s = t = u = 0$ 以外の解をもつことと、3 つが同一平面内にあることは結びついている。

くわしい証明は省略。

1次独立な空間ベクトルに関する定理

1次独立な空間ベクトルに関する定理（空間）

2 つの1 次独立なベクトルの1 次結合に関して、「1 次独立な平面ベクトルに関する定理」が成り立った。ここでは、これを拡張した、3 つの1 次独立なベクトルの1 次結合に関する次の定理を示す。

定理41 次独立な空間ベクトルに関する定理

ある $p$ が、1 次独立な $a, b, c$ の1 次結合で

$p = sa + tb + uc p = s’a + t’b + u’c$

と2 通りに表されたとする。このとき

\begin{eqnarray} \left{ $s = s’ t = t’ u = u’$ \right. \end{eqnarray}

が成り立つ。つまり、 $p$ は1 通りでしか表せない。

証明を見る

証明

$p$ は

$p = sa + tb + uc = s’a + t’b + u’c$

と表されるので

$sa + tb + uc = s’a + t’b + u’c$ $\Leftrightarrow (s - s’)a + (t - t’)b + (u - u’)c = 0$

ここで、 $a, b, c$ は1 次独立であるから、その定義より

\begin{eqnarray} \left{ $s - s’= 0 t - t’= 0 u - u’= 0$ \right. \Longleftrightarrow \left{ $s = s’ t = t’ u = u’$ \right. \end{eqnarray}

∎

問題1空間内の直線の交点の位置ベクトル

空間内の四面体 $OABC$ において、辺 $AB$ の中点を $E$ 、辺 $OC$ を $2 : 1$ に内分する点を $F$ 、辺 $OA$ を $1 : 2$ に内分する点を $P$ とする。また、 $Q$ を辺 $BC$ 上の点とする。線分 $EF$ と $PQ$ のが交点 $X$ をもつとき、 $OX$ を $OA, OB, OC$ で表せ。

解答を見る

$OA = a, OB = b, OC = c$ とおく。

まず、 $X$ は線分 $EF$ 上にあるから、 $EX : XF = s : 1 - s$ とおくと

$内分点の位置ベクトル OX=(1-s)OE+sOF （注）内分点の位置ベクトル \LeftrightarrowOX=(1-s)・1/2(a+b)+s・(2/3)c \LeftrightarrowOX=((1-s)/2)a+((1-s)/2)b+(2s/3)c ①$

と表すことができる。

また、 $X$ は線分 $PQ$ 上にあるから、 $PX:XQ=t:1-t$ とおき、また、点 $Q$ について $BQ:QC=u:1-u$ とおくと

$内分点の位置ベクトル OX=(1-t)OP+tOQ （注）内分点の位置ベクトル \LeftrightarrowOX=(1-t)・(1/3)a +t・{(1-u)b+uc} \LeftrightarrowOX=(1-t/3)a+t(1-u)b+tuc ②$

と表すことができる。

いま、 $OABC$ は四面体であるから、 $a, b, c$ は同一平面上になく1次独立である。よって、 $①, ②$ より

\begin{eqnarray} && \left{ $(1-s)/2=(1-t)/3 (1-s)/2=t(1-u) 2s/3=tu$ \right. \ &\Leftrightarrow~& \left{ $3-3s=2-2t (1-s)/2=t-tu 2s/3=tu$ \right. \ &\Leftrightarrow~& \left{ $t=(3s-1)/2 (3-3s)/6=t-tu 4s/6=tu$ \right. \end{eqnarray}

以下、連立方程式

${ t=(3s-1)/2 (3-3s)/6=t-tu 4s/6=tu .$ を解く。

上の式を上から順に $(3)$ 、 $(4)$ 、 $(5)$ とする。

まず、 $(4)+(5)$ より

$t=(3+s)/6$

これを $(3)$ に代入して

$(3+s)/6=(3s-1)/2\Leftrightarrow6+2s=18s-6$ $∴s=3/4$

これと $(3)$ より、 $t=5/8$ である。これらと $(5)$ より、 $u=4/5$ となる。

よって

$OX =(1/8)a+(1/8)b+(1/2)c$

最終更新: 2026-08-20

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数学B 第7章 空間ベクトルと空間図形 — 空間ベクトルの1次独立

ベクトルの1次結合の定義（空間）

ベクトルの1次結合の定義（空間）

定義11 次結合の定義

ベクトルの1次独立の定義（空間）

ベクトルの1次独立の定義（空間）

定義21 次独立の定義

定理31 次独立なベクトルと同一平面にないベクトル

1次独立な空間ベクトルに関する定理

1次独立な空間ベクトルに関する定理（空間）

定理41 次独立な空間ベクトルに関する定理

問題1空間内の直線の交点の位置ベクトル

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