数学B 第1章数列の一般項と和 — 群数列

群数列の定義

下の数列のように、いくつかのまとまりで数列を考えたものを群数列(group sequence)という。

群数列では、次のように各群に番号をつけ、「第～群」と呼ぶことにしよう。

たとえば

第3群は $(9,11,13,15,17)$ である。

第4群の一番初めの項は、 $19$ である。

などのように用いる。

また

のように、群で区切られてなくても、数列に何らかのまとまりがある場合には、下のように仕切りを入れて、自分で群にまとめるとよい。そうすることで群内の規則に注目でき、解答を進めることができるようになる。

群数列を見たら、問題を考える前に、まず次の2つの点について調べておくとよい。

さきほどの奇数の数列の例で調べてみよう。

この数列は、初項1公差2の等差数列であるから

$an=1+(n-1)\times2=2n-1$

とわかる。

また、第1群には項が1個、第2群には項が3個、第3群には項が5個、 $\dots$ 、第 $n$ 群には項が $2n-1$ 個あるのがわかる。よって、第1群から第 $n$ 群までに含まれる項の数 $ln$ は

$ln=1+3+5+\dots+(2n-1) =Σ(2k-1)=n²$

と求まる。

もう1 つの例でも試してみよう。

この例で第 $n$ 項はすぐにわかりそうにない。

また、第1群には項が1個、第2群には項が2個、第3群には項が3個、 $\dots$ 、第 $n$ 群には項が $n$ 個あるのがわかる。よって、第1群から第 $n$ 群までに含まれる項の数 $ln$ は

$ln=1+2+3+\dots+n =Σk=n(n+1)/2$

と求まる。

これら2つのポイントを押さえると、群数列の問題が考えやすくなる。

次の数列について各問題に答えよ

$1/2,2/3,1/3,3/4,2/4,1/4,4/5,3/5,2/5,1/5,5/6,\dots$

解答を見る

次のように群分けをおこなう。

第 $n$ 群は、分母がすべて $n+1$ で、分子は $n,n-1,\dots,1$ と並んでいる。この規則より、 $18/25$ は分母が $25$ なので第24群に存在していることがわかる。第 $n$ 群に含まれる項数が $n$ であることを考えると、第23群までの項数は

$1+2+3+\dots+23=1/2・23(1+23) =276$

よって、第24群の第1項は、最初から数えて277番目になる。 $18/25$ は第24群の分子を $24,23,\dots,1$ と数えて $24-18+1=7$ 番目、つまり第24群の第7項なので

$277+7-1=283$

以上より、 $18/25$ は最初から数えて $283$ 番目の項となる。
第666項が含まれる群を求める。666項が第 $n$ 群に含まれるとすると

$第群までの項数第群までの項数 (第n-1群までの項数)<666 ≦(第n群までの項数) \Leftrightarrow 1/2(n-1)n<666≦(1/2)n(n+1)$

これを満たす $n$ は $n=36$ である。 $1/2(36-1)36=630$ より、第36群の第1項は、最初から数えて631番目である。 $666-631+1=36$ なので、最初から数えて第666項目の分数は、第36群の第36項であり、 $1/37$ である。
第 $n$ 群に含まれる項の和 $Sn$ は

$Sn=n/(n+1)+(n-1)/(n+1)+\dots+1/(n+1) =1/(n+1){n+(n-1)+\dots+1} =1/(n+1)(1+2+\dots+n) =1/(n+1)・(1/2)n(n+1) =n/2$

よって、第666項までの和は第36群までの和で

$Σk/2=1/2・1/2・36・37 =333$

最終更新: 2026-08-20

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