数学B 第2章 漸化式 — 線形3項間漸化式:

漸化式 から特性方程式 をつくる．

特性方程式の解 を利用して，漸化式 を

と2通りに変形する．

とおき，2本の漸化式を書き換えて

等比数列の一般項の公式を使い，数列 の一般項を求める．

置き換えた数列をもとに戻して

を消すため，辺々引き算する．

について解けば完成．

線形3項間漸化式を解くのに，特性方程式 を使うとよいのはわかったが，この特性方程式はいったいどのような考え方からくるのだろうか．ここでは，それを検証する．

線形3項間漸化式 を解くために，「等比数列に帰着させる」ことを考えていた．等比数列に帰着させるためには，適当な数 を用いて，線形3項間漸化式 を

と変形したい．なぜなら，このように変形できれば，数列 は等比数列になるからである．

では，このような はどのように求めればよいのかというと， を展開・整理した式

と，もともとの漸化式

の係数を比較して

を満たすような であればよい．

このような を求めるためには，解と係数の関係の逆より

という2次方程式を解けばよい．

ここで，この方程式を解くのではなく，変形すると

となるが，これは線形3項間漸化式 の を ， を ， を1に形式的に置き換えたものに他ならない．そして，この方程式を特性方程式と名付けるのである．

結局，線形3項間漸化式 は，特性方程式 の解 を用いて

と変形され，等比数列に帰着されるのである．