数学B 第2章 漸化式 — 線形3項間漸化式:an+2 =pan+1+qan

STEP1

漸化式 an+2=pan+1+qan から特性方程式 x²=px+q をつくる。

STEP2

特性方程式の異なる2つの解 x=α,β (α≠β) を利用して、漸化式 an+2=pan+1+qan を

an+2-α an+1=β (an+1-α an) an+2-β an+1=α(an+1-β an)

と2通りに変形する。

STEP3

bn=an+1-α an,cn=an+1-β an とおき、2本の漸化式を書き換えて

bn+1=β bn cn+1=α cn

等比数列の一般項の公式を使い、数列 {bn},{cn} の一般項を求める。

bn=b1β^n-1 cn=c1α^n-1

STEP4

置き換えた数列をもとに戻して

an+1-α an=(a2-α a1)β^n-1 an+1-β an=(a2-β a1)α^n-1

an+1 を消すため、辺々引き算する。

-α an-(-β an) =(a2-α a1)β^n-1-(a2-β a1)α^n-1 ⇔ (β-α)an =(a2-α a1)β^n-1-(a2-β a1)α^n-1

STEP5

an について解けば完成。

an=((a2-α a1)/(β-α))β^n-1-((a2-β a1)/(β-α))α^n-1

実際、 α=2,β=3,a1=2,a2=5 を代入すると an=3^n-1+2^n-1 となり、はじめに書き並べた 2,5,13,35,97,275,… と一致する。

線形3項間漸化式を解くのに、特性方程式 x²=px+q を使うとよいのはわかったが、この特性方程式はいったいどのような考え方からくるのだろうか。ここでは、それを検証する。

線形3項間漸化式 an+2=pan+1+qan を解くために、「等比数列に帰着させる」ことを考えていた。等比数列に帰着させるためには、適当な数 α,β を用いて、線形3項間漸化式 an+2=pan+1+qan を

an+2-α an+1=β(an+1-α an) ①

と変形したい。なぜなら、このように変形できれば、数列 {an+1-α an} が公比 β の等比数列になるからである。

では、このような α,β はどのように求めればよいのかというと、 ① を展開・整理した式

an+2=(α+β)an+1-αβ an

と、もともとの漸化式

an+2=pan+1+qan

の係数を比較して

α+β=p αβ=-q

を満たすような α,β であればよい。

このような α,β を求めるためには、解と係数の関係の逆より

x²-px-q=0

という2次方程式を解けばよい。

ここで、この方程式を解くのではなく、変形すると

x²=px+q

となるが、これは線形3項間漸化式 an+2=pan+1+qan の an+2 を x² 、 an+1 を x 、 an を1に形式的に置き換えたものに他ならない。そして、この方程式を特性方程式と名付けるのである。

結局、線形3項間漸化式 an+2=pan+1+qan は、特性方程式 x²=px+q の解 α,β を用いて

an+2-α an+1=β(an+1-α an)

と変形され、等比数列に帰着されるのである。

ここで、条件 α+β=p, αβ=-q は α と β を入れかえても変わらない。だから、特性方程式の2つの解のどちらを α の役にしてもよく、同じように

an+2-β an+1=α(an+1-β an)

とも変形できる。2通りの変形が得られるのは、このためである。