数学B 第1章 数列の一般項と和 — Σ記号

1. k に 1,2,3 を代入して足すので 1+3+5

2. k に 2,3,4 を代入して足すので 3・2²+3・3²+3・4²

3. i が変わっても中身は 3 のままなので、 3 を n 個足して 3+3+3+…+3

4. j に 1,2,3,…,n を代入して足すので 3¹+3²+3³+…+3^n

5. 足し合わせる文字は k であり、 n は k に無関係なので、中身は変わらない。よって 2n-1 を 3 個足して (2n-1)+(2n-1)+(2n-1)

次に数列の和を Σ 記号に書き直してみよう。

1. 一般項が k² で、 k が 1 から 7 まで動くから Σk²
2. 一般項が 2k+1 で、 k が 1 から n まで動くから Σ(2k+1)
3. 一般項が 3 で、 k が 1 から n まで動くから Σ3
4. 一般項が k(k+2) で、 k が 1 から 5 まで動くから Σk(k+2)

Σ 記号から数列の和に書き下して同一であることを確かめればよい。和はそれぞれ

1. k に 1,2,…,n を代入して 2¹+2²+…+2^n
2. k に 2,3,…,n+1 を代入して 2^2-1+2^3-1+…+2^(n+1)-1=2¹+2²+…+2^n
3. i に 1,2,…,n を代入して 2・2⁰+2・2¹+…+2・2^n-1=2¹+2²+…+2^n

となり、どれも 2¹+2²+…+2^n を表している。

1. 展開してから公式を使うと Σk(k+1)=Σ(k²+k) =Σk²+Σk =(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(n+1) =(1/6)n(n+1){(2n+1)+3} =(1/3)n(n+1)(n+2)
2. 同じように展開してから公式を使うと Σ(2k+1)²=Σ(4k²+4k+1) =4Σk²+4Σk+Σ1 =(2/3)n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n =(1/3)n{2(n+1)(2n+1)+6(n+1)+3} =(1/3)n(4n²+12n+11)

1. Σ3^k=3¹+3²+3³+…+3^nn個 =3(1-3^n)/(1-3)=3(3^n-1)/2
2. Σ3^k=3¹+3²+3³+…+3^n-1n-1個 =3(1-3^n-1)1-3=3(3^n-1-1)2
3. Σ3^k=3²+3³+3⁴+…+3^n-1n-2個 =3²(1-3^n-2)1-3=9(3^n-2-1)2
4. Σ3^k-1=3¹+3²+3³+…+3^n-1n-1個 =3(1-3^n-1)1-3=3(3^n-1-1)2 （注） 2. と同じ答えである
5. Σ3^2k-1=3¹+3³+3⁵+…+3^2n-1n個 =3+3・9+3・9²+…+3・9^n-1 =3(1-9^n)/(1-9)=3(9^n-1)/8