数学B 第1章数列の一般項と和 — いろいろな数列

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$an=$ (等差数列の項) $\times$ (等比数列の項)

$an=$ (等差数列の項) $\times$ (等比数列の項)の和

一般項 $an$ が

$an=n・2^n-1 ①$

で与えられる数列は、具体的に書くと

1・2^0, 2・2^1, 3・2^2, 4・2^3, 5・2^4, 6・2^5, ... という数列が並び、各項の上には項番号を示す四角囲みの数字1から6が付いている。

となる。

この $①$ のように、 $等差数列等比数列 (等差数列)\times(等比数列)$ で表される数列の、初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる。

STEP1

初項から第 $n$ 項までの和 $Sn$ を書き下す。

$個の項 Sn=1+2・2+\dots+(n-1)・2^n-2+n・2^n-1n個の項$

STEP2

この式の辺々を2倍(公比倍)した式を書く。

$個の項 2Sn=1・2+2・2²+\dots+(n-1)・2^n-1+n・2^nn個の項$

STEP3

上の2つの式を並べる。このとき、下のように、2倍(公比倍)した式の方を右に1段ずらして書いておく。

上段のS_n=1+2・2+…+n・2^(n-1)に対し、下段の2S_n=1・2+2・2^2+…+n・2^nは、同じ2の累乗の項が上下にそろうよう、右に1項ずらして書かれている。

STEP4

上の式から下の式を引く。

Snの式から2Snの式を引き算する筆算が示されている。同じ指数の項を縦にそろえて引くことで、-Sn=1+1・2+1・2^2+…+1・2^(n-1)-n・2^n という結果が導かれている。

STEP5

このとき、必ず等比数列の和が現れるので、その部分を計算する。

$初項公比の等比数列 -Sn=1+1・2+1・2²+\dots+1・2^n-2+1・2^n-1初項1公比2の等比数列 -n・2^n =1・(1-2^n)/(1-2)-n・2^n =2^n-1-n・2^n =-(n-1)2^n-1$

式全体に $-1$ を掛けて

$Sn=(n-1)2^n+1$

を得る。

解法をまとめておこう。

定理1 $等差数列の項等比数列の項 an=(等差数列の項)\times(等比数列の項)$ の和の解法

STEP1:和を書き下す。

STEP2:和を公比倍したものを書く。

STEP3:上の2式をずらして並べる。

STEP4:項のかたまりを崩さないように差を取る。

STEP5:等比数列の和を見つけて計算し、 $Sn$ を求める。

問題1等差 $\times$ 等比型数列の和～その１～

次の和 $S$ を求めよ。

$S=1+3・2+5・2²+\dots+(2n-1)・2^n-1$

解答を見る

公比を掛けて差をとると

$S=1+3・2+5・2²+\dots+(2n-1)・2^n-1 2S=1・2+3・2²+\dots+(2n-1)・2^n$

より

$-S = 1+2(2+2²+\dots+2^n-1)-(2n-1)・2^n = 1+2・2(2^n-1-1)2-1-(2n-1)・2^n = 1+2・(2^n-2)-(2n-1)・2^n = -3-(2n-3)・2^n$

よって、 $S=3+(2n-3)・2^n$ である。

問題2等差 $\times$ 等比型数列の和～その２～

次の和 $S$ を求めよ。

$S=1+2x+3x²+\dots+nx^n-1$

解答を見る

$x=1$ のときは、公比 $x$ を掛けて引いても $S-S=0$ となってしまい、この方法が使えない(両辺を $1-x$ で割ることもできない)。そこで、 $x=1,x\neq1$ で場合分けを行なう。

$x=1$ のとき

$S=1+2+3+\dots+n =(1/2)n(n+1)$
$x\neq1$ のとき

$S=1+2x+3x²+\dots+nx^n-1 xS=x+2x²+\dots+(n-1)x^n-1+nx^n$

より

$(1-x)S=1+(x+x²+\dots+x^n-1)-nx^n =1+x(1-x^n-1)1-x-nx^n$

初項 $x$ 、公比 $x$ 、項数 $n-1$ の等比数列の和

よって

$S=(1-nx^n)/(1-x)+x(1-x^n-1)(1-x)² =(1-nx^n)(1-x)+x(1-x^n-1)(1-x)² =1-(n+1)x^n+nx^n+1(1-x)²$

$an=1/n(n+1)$

分数列の和

一般項 $an$ が

$an=1/n(n+1) ①$

で与えられる数列は、具体的に書くと

項番号1から6が付いた、1/(1・2)、1/(2・3)、1/(3・4)、1/(4・5)、1/(5・6)、1/(6・7)、…と続く数列の各項が横一列に並んでいる。

となる。

この $①$ のように、一般項 $an=1/n(n+1)$ で表される数列の、初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる

STEP1

まず $an=1/n(n+1)$ を分解する。このとき、下のように自分で $a$ とおく( $a$ の値は後で求める)。

$1/n(n+1)=a/n-a/(n+1)$

このような式変形を、部分分数分解(resolve into partial fractions)という。

STEP2

右辺を通分し、 $1/n(n+1)$ と等しくなるように $a$ を決定する。

$で通分した a/n-a/(n+1) = a(n+1)/n(n+1)-an/n(n+1) （注）1/n(n+1)で通分した = a/n(n+1)$

これが、 $1/n(n+1)$ と等しくなるのは、(分子を比較して) $a=1$ のときである。これより

$1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)$

という等式を得る。

STEP3

右辺の式を利用して、初項から第 $n$ 項までの和を、具体的に書き出してみる。

$Σ1/k(k+1) = Σ(1/k-1/(k+1)) = (1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4) +\dots+(1/(n-1)-1/n)+(1/n-1/(n+1))$

STEP4

相殺して消える部分ができるので、下のように消していく。

$隣り合うかっこのとなどが消え合う Σ1/k(k+1) = Σ(1/k-1/(k+1)) = (1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4) +\dots+(1/(n-1)-1/n)+(1/n-1/(n+1)) （注）隣り合うかっこの-1/2と+1/2などが消え合う = 1/1-1/(n+1) = n/(n+1)$

よって

$Σ1/k(k+1)=n/(n+1)$

を得る。

解法をまとめておこう。

定理2 $an=1/n(n+1)$ の数列の和の解法

STEP1 部分分数に分解する。

STEP2 部分分数の係数を決定する。

STEP3 具体的に和を書き出してみる。

STEP4 相殺して消える部分があるので消し、 $Sn$ を求める。

問題3分数数列の和

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

$1/1・3,1/3・5,1/5・7,\dots$

解答を見る

一般項を求めて部分分数に分解する。

分母は連続する2つの奇数の積だから、一般項は $1/(2n-1)(2n+1)$ である。これより

$1/(2n-1)(2n+1)=((2n+1)-(2n-1))/(2n-1)(2n+1)・1/2 =1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))$

よって

$Sn=1/2{(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+\dots +(1/(2n-1)-1/(2n+1))} =1/2(1-1/(2n+1)) =1/2・2n/(2n+1) =n/(2n+1)$

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学B 第1章 数列の一般項と和 — いろいろな数列

an=(等差数列の項)×(等比数列の項)

an=(等差数列の項)×(等比数列の項)の和

定理1 等差数列の項 等比数列の項an=(等差数列の項)×(等比数列の項) の和の解法

問題1等差 × 等比型数列の和～その１～

問題2等差 × 等比型数列の和～その２～

an=1/n(n+1)

分数列の和

定理2 an=1/n(n+1) の数列の和の解法

問題3分数数列の和

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数学B 第1章数列の一般項と和 — いろいろな数列

$an=$ (等差数列の項) $\times$ (等比数列の項)

$an=$ (等差数列の項) $\times$ (等比数列の項)の和

定理1 $等差数列の項等比数列の項 an=(等差数列の項)\times(等比数列の項)$ の和の解法

問題1等差 $\times$ 等比型数列の和～その１～

問題2等差 $\times$ 等比型数列の和～その２～

$an=1/n(n+1)$

定理2 $an=1/n(n+1)$ の数列の和の解法