数列 1,2,6,13,23,36 の階差数列を書け．

階差数列 {bn} は b1=a2-a1=2-1=1 b2=a3-a2=6-2=4 b3=a4-a3=13-6=7 b4=a5-a4=23-13=10 b5=a6-a5=36-23=13 よって，階差数列は {1,4,7,10,13} で与えられる．

次の数列の一般項 an を求めよ． 1,2,5,10,17,26,…

階差数列 {bn}=1,3,5,7,9,… より bn=2n-1 よって n≧2 において an=a1+Σk=1^n-1bk =1+Σk=1^n-1(2k-1) =1+2・1/2(n-1)n-(n-1) =n²-2n+2 n=1 を代入したとき 1²-2・1+2=1 となり， a1 と等しくなるので， n≧1 において an=n²-2n+2 と表せる．

数学B 第1章数列の一般項と和 — 階差数列

階差数列の定義

階差数列とは何か

下の数列の第項をいきなり求めるのは，少し難しい．

このように一般項がすぐに把握できない場合は，隣り合った項の差をとって，新たな数列をつくってみるとうまくいくことがある．まず新しく作られる数列について確認しよう．

隣り合った項の差に注目すると，たとえばは12と予想できるので，第6項はと求めることができる．

定義1階差数列の定義 §

数列に対して

となる数列を，数列の階差数列 (progression of differences) という．

この例では，階差数列は，初項4，公差2の等差数列になっているので

と表せる．

問題1階差数列の定義

数列の階差数列を書け．

解答を見る

階差数列は

よって，階差数列はで与えられる．

階差数列から一般項を求める

階差数列の一般項

次に，本題であった数列を求めよう．

階差数列の一般項がわかった場合，そこからを以下のようにして求めることができる．

上の数列から

であるから，は「にからまでの項を加えたもの」とわかる．よって，のとき第項は

として求めることができる．

以上，まとめておこう．

に1個以上の階差を加えてを求めているので，このはの場合であるを表現することができない．

定理2階差数列

から一般項

を求める §

数列の階差数列をとおくと，のとき一般項は

と求めることができる．

問題2階差数列

から一般項

を求める

次の数列の一般項を求めよ．

解答を見る

階差数列より

よってにおいて

を代入したときとなり，と等しくなるので，においてと表せる．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/147（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08

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