数学B 第1章数列の一般項と和 — 階差数列

階差数列の定義

階差数列とは何か

下の数列の第 $n$ 項をいきなり求めるのは、少し難しい。

1から6までの丸数字の下に、順に2、6、12、20、30、クエスチョンマークが配置され、その後にカンマと三点リーダーが続く数列が示されている。

このように一般項がすぐに把握できない場合は、隣り合った項の差をとって、新たな数列をつくってみるとうまくいくことがある。まず新しく作られる数列について確認しよう。

①から⑤の番号がついた数列 2, 6, 12, 20, 30, ... が並び、各項の間には差を表す +4, +6, +8, +10 と四角囲みの X が矢印で示されている。

隣り合った項の差に注目すると、たとえば $X$ は12と予想できるので、第6項は $30+12=42$ と求めることができる。

定義1階差数列の定義

数列 ${an}$ に対して

$bn=an+1-an$

となる数列 ${bn}$ を、数列 ${an}$ の階差数列 (progression of differences) という。

この例では、階差数列 ${bn}$ は、初項4、公差2の等差数列になっているので

$bn=4+(n-1)\times2=2n+2$

と表せる。

問題1階差数列の定義

数列 $1,2,6,13,23,36$ の階差数列を書け。

解答を見る

与えられた数列を ${an}$ とおくと、階差数列 ${bn}$ は

$b1=a2-a1=2-1=1 b2=a3-a2=6-2=4 b3=a4-a3=13-6=7 b4=a5-a4=23-13=10 b5=a6-a5=36-23=13$

よって、階差数列は $1, 4, 7, 10, 13$ である。

階差数列から一般項を求める

階差数列の一般項

次に、本題であった数列 ${an}$ を求めよう。

上段に数列{a_n}の項 2, 6, 12, 20, 30, …, a_n, a_n+1, … が並び、各項の間の下に階差数列{b_n}の項 4, 6, 8, 10, 12, …, 2n+2, … が b_1, b_2, …, b_n として配置されている。

階差数列の一般項 $bn$ がわかった場合、そこから $an$ を以下のようにして求めることができる。

上の数列から

a_2 = 2 + 4 から a_5 = 2 + (4 + 6 + 8 + 10) まで、項を加える式が縦に並んでいる。初項2の上に①、括弧でくくられた項の和の上に b_1+b_2 などの記号が添えられている。

であるから、 $an$ は「 $a1$ に $b1$ から $bn-1$ までの $n-1$ 項を加えたもの」とわかる。よって、 $n≧2$ のとき第 $n$ 項は

数式 a_n=2+（4+6+8+…+（2(n-1)+2））において、2の上に①、角かっこ部分の上に b_1+b_2+…+b_（n-1）と添えられ、下行に =a_1+Σ(k=1〜n-1)b_k と表されています。

として求めることができる。

実際、この数列では $a1=2$ 、 $bn=2n+2$ であったから、 $n≧2$ のとき

$an=2+Σ(2k+2)=2+(n-1)n+2(n-1)=n²+n$

となる。 $n=1$ のときも $1²+1=2$ となって $a1$ に一致するので、 $n≧1$ において $an=n²+n$ である。ここで $n=6$ とすると $6²+6=42$ となり、はじめに予想した第6項と一致する。

この例のように、 $n≧2$ として求めた $an$ には、必ず $n=1$ を代入して $a1$ と一致するかを確かめる。一致すれば $n≧1$ で成り立つとしてよいが、一致しないときは「 $n=1$ のとき $a1=\dots$ 、 $n≧2$ のとき $an=\dots$ 」と場合を分けて答える。

以上、まとめておこう。

定理2階差数列 ${bn}$ から一般項 $an$ を求める

数列 ${an}$ の階差数列を ${bn}$ とおくと、 $n≧2$ のとき一般項 $an$ は

$an=a1+Σbk$

と求めることができる。

問題2階差数列 ${bn}$ から一般項 $an$ を求める

次の数列の一般項 $an$ を求めよ。

$1,2,5,10,17,26,\dots$

解答を見る

数列 ${an}$ の階差数列は $1,3,5,7,9,\dots$ であり、これは初項1、公差2の等差数列になっているので

$bn=1+(n-1)\times2=2n-1$

よって $n≧2$ において

$an=a1+Σbk =1+Σ(2k-1) =1+2Σk-Σ1 =1+2・1/2(n-1)n-(n-1) =n²-2n+2$

$n≧2$ として求めた式なので、 $n=1$ でも通用するかを確かめる。 $n=1$ を代入したとき $1²-2・1+2=1$ となり、 $a1$ と等しくなるので、 $n≧1$ において $an=n²-2n+2$ と表せる。

最終更新: 2026-08-20

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