数学B 第1章数列の一般項と和 — 和から一般項へ

和から一般項へ

数列 ${an}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $Sn$ とする。

ここでたとえば、 $S3=9$ であり、 $S4=16$ であるとき

$S4=a1+a2+a3+a4 S3=a1+a2+a3$

であるから、上の式から下の式を引くと

$S4-S3=a4$

を得る。よって、 $a4=S4-S3=16-9=7$ であることがわかる。

一般に、初項から第 $n$ 項までの和 $Sn$ から、初項から第 $n-1$ 項までの和 $Sn-1$ を引くことにより、第 $n$ 項 $an$ を求めることができる。つまり

と求めることができる。

ただし、この式が意味をもつのは $n≧2$ においてである。 $a1$ は別に求めなければならないが、 $a1=S1$ からすぐに求めることができる。

数列 ${an}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $Sn$ とすると

$Sn-Sn-1=an (n≧2) S1=a1$

として、一般項 $an$ を求めることができる。

初項から第 $n$ 項までの和が次の式で表される数列の第 $n$ 項を求めよ

$Sn=n³$

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$n≧2$ において

$an=Sn-Sn-1 =n³-(n-1)³ =3n²-3n+1 ①$

ここで、 $a1=S1=1$ である。また、 $①$ に $n=1$ を代入すると $3・1²-3・1+1=1$ となり、 $a1$ の値と一致する。よって、 $①$ は $n=1$ のときでも成立するから、 $n≧1$ において $an=3n²-3n+1$ となる。

最終更新: 2026-08-20

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