数学B 第1章 数列の一般項と和 — 等差数列

等差数列の一般項

等差数列の定義

数列とは何かでとりあげた貯金の例のように，初項 に順次，一定の数 (公差(common difference)という)を加えて得られる数列のことを等差数列(arithmetic sequence)という．

具体的に数列を書き表すと

となる．

また，等差数列は漸化式を用いて

と表すこともできる．

初項 の条件は必須であることに注意しよう．

試しに，この漸化式 の に を代入すると，確かに が作られるのがわかる．

等差数列の一般項

この等差数列の第 項つまり一般項 は

「第 項は初項 に を 個加えたもの」

と考えて

となるのはすぐにわかるだろう．

また，漸化式 から一般項 を求める方法もみておこう．

STEP1

漸化式を と変形し， に を代入し，得られる式を縦に並べておく．

STEP2

すべての式の辺々を加え合わせる．

よって， であることに注意して，次式を得る．

とを混合してもちいる

さきほどSTEP1で使った文字 は「ある 番目」という意味で用いた．ただし慣例では ではなく を使うので，今後このテキストでもこの慣例に従い，特別 を使用せずに を使うものとする．

しかし，こうするとSTEP1で「 に を代入」と表現されることになり「 に を代入する？」と誤解を招きやすい．

最初の は を代入するための変数であり，後の に含まれる は定数として用いられており，同じ でも別物として取り扱うことに注意しよう．

等差数列の和

等差数列の和の求め方

ここでは，等差数列の初項 から第 項までの和 を求めてみよう．

STEP1

等差数列の一般項 に， を代入して足し合わせる式を書く．

STEP2

この式の右辺を，逆に並べて書く．

STEP3

上の2式を縦に足し合わせる．

右辺は全て であり，これが 個存在するので

と表すことができる．これが求めたかった等差数列の初項 から第 項までの和 である．

なお， より

と表すこともできる．

以上，等差数列の和についてまとめておこう．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/143（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08