数学B 第6章 空間ベクトルの演算 — 空間ベクトルの定義

空間ベクトルとは何か

空間ベクトルの定義

空間内の有向線分AB から、その“位置”を無視して“向き”と“大きさ”だけに着目したものを(空間) ベクトルといい、AB で表すことにする。

空間ベクトルの相等

「平面上のベクトルの相等」と同じように、空間内でも2 つのベクトルAB とCD の“向き”と“大きさ”が等しいとき

AB =CD

と書くことにし、このときAB とCD は等しいということにする。

空間ベクトルの大きさの表し方

空間ベクトルの場合にも、「ベクトルの大きさの表し方」と同様に、AB やa の大きさを、それぞれ

|AB|, |a|

と表す。ここで、|AB| は、(有向) 線分AB の長さに等しい。

空間ベクトルの成分表示

空間ベクトルを成分で表す

「平面ベクトルを成分で表す」と同じように、今度は座標空間内にあるベクトル の成分を用いた表し方についてみていこう。

次の図のように、座標空間内に2 点

A(ax, ay, az), B(bx, by, bz)

があるとき、AB を

• x の増分: bx − ax
• y の増分: by − ay
• z の増分: bz − az

を用いて、 AB = ( bx − ax by − ay bz − az )と表すことにする。

bx − ax の値をx 成分(x-component) 、 by − ay の値をy 成分(y-component) 、 bz − az の値をz 成分(z-component) という。

成分表示された空間ベクトルの相等

「成分表示された平面ベクトルの相等」は、空間ベクトルの場合にも拡張される。

一般に、2 つの a = ( ax ay az ) , b = ( bx by bz ) の相等に関して

a = b ⇔ { ax = bx ay = by az = bz .

が成り立つ。

成分表示された空間ベクトルの大きさ

空間ベクトル OP = ( x y z ) の大きさは、線分OPの長さである。いま、この線分の長さを求めてみよう。

O は原点であるから、OP の成分は点P の座標に等しく、P(x, y, z) である。点P から、xy 平面に下ろした垂線の足をHとすると、Hの座標は(x, y, 0)であるから、三平方の定理より

OH² = x² + y²

である。ここで、線分PH の長さは、P とH のz 座標の差の絶対値であるから PH =|z| であり、 PH² = z² となる。また、△POH はH を直角とする直角三角形であるから、再び三平方の定理より

OP² = OH² + PH² = x² + y² + z²

となり

OP =√(x² + y² + z²)

と計算できる。

これより、2 点 A(ax, ay, az), B(bx, by, bz) 間の距離は、 AB = ( bx − ax by − ay bz − az ) を用いて

AB =|AB| =√((bx − ax)² + (by − ay)² + (bz − az)²)

と計算できる。

最終更新: 2026-08-20