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数学B 第6章 空間ベクトルの演算 — 空間座標

空間での座標の表し方

空間での座標の表し方

原点Oで交わる3つの座標軸があり、右方向にy軸、上方向にz軸、左手前方向にx軸が伸びている。各軸の先端には矢印と文字が記されている。

空間内に1 点 を定め、 で互いに直交する3 つの直線 を引く。これらの各直線を、 を原点とする数直線と考えたとき、 を座標軸(coordinate axis)、または直交座標軸(orthogonal axis) といい、座標軸の定められた空間を座標空間(coordinate space) という。

このときの のことを座標空間の原点(origin) といい、数直線 をそれぞれ、 軸(x-axis) 、 軸(y-axis) 、 軸(z-axis)という。

また、下図に示すように

  • 軸と 軸を含む平面を 平面(xy-plane)
  • 軸と 軸を含む平面を 平面(yz-plane)
  • 軸と 軸を含む平面を 平面(zx-plane)

という。

原点で交わるx軸、y軸、z軸を描いた座標空間で、x軸とy軸を含むxy平面の部分が灰色の面として着色されている。z軸は原点からその平面に対して垂直上方に伸びている。
x軸、y軸、z軸からなる空間座標において、右に伸びるy軸と上に伸びるz軸を含むyz平面にあたる部分が、グレーの四角い領域で塗りつぶされている。
x軸、y軸、z軸からなる空間座標において、x軸とz軸を含むzx平面が灰色で強調されている。座標軸が交わる原点には黒い点が打たれている。
原点Oを通るx軸、y軸、z軸があり、各軸上の点A(a)、点B(b)、点C(c)を頂点とする直方体において、原点Oの対角の位置に点Pが描かれている。

空間座標内のある点 を通り、3 つの座標軸のそれぞれに直交する各平面が、 軸、 軸、 軸と交わる点を、それぞれ とし、その各座標軸上における座標を、それぞれ とする。

このとき定まる3 つの実数の組 を点 の座標(coordinate)といい、 をそれぞれ点 の 座標(x-coordinate) 、座標(y-coordinate) 、 座標(z-coordinate) という。点 の座標が であるとき、 と表す。

また、上の図の直方体を使うと、原点 と点 の距離が求められる。 平面上にある面の対角線の長さを とすると、三平方の定理より

であり、 はこの対角線と高さ の辺を2 辺とする直角三角形の斜辺であるから、再び三平方の定理より

となる。2 点 の距離も、線分 を対角線とし、各面が座標平面に平行な直方体を考えれば、次のように求められる。

§

定理1座標空間の2点間の距離

座標空間の2 点 間の距離は

である。

問題1空間座標

以下の問いに答えよ。

  1. と 平面について対称な点 の座標を求めよ。
  2. と について、線分 の長さを求めよ。
解答を見る
  1. 次の図のように 座標の符号が変化し、 座標は不変であるから、 の座標は である。
座標空間に、x軸上の2、y軸上の-1と1、z軸上の3の位置をもとに表された点A(2, -1, 3)と点A'(2, 1, 3)があり、この2点を結ぶ線分と各軸を結ぶ点線が描かれている。

最終更新: 2026-08-20

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