数学B 第4章 ベクトルの定義と基本演算 — ベクトルの演算

ベクトルの加法

ベクトルの加法の定義

2 つのベクトル に対して，まず点 を定めて

となる点 を取るとき，ベクトル を と の和といい， と書く．すなわち，

ベクトルの加法に関する計算法則

一般に，ベクトルの加法について，次のことが成り立つ．

逆ベクトルとゼロベクトル

あるに対し，大きさが等しく向きが反対であるベクトルを， の逆ベクトル(inverse vector) といい，で表す．

いま，右図のように とすると， であるから

である．

と，その逆ベクトル の和は

となる．このとき， を，始点と終点が一致した特別な有向線分の表すベクトルと考えて，これをゼロベクトル(zero vector) といい，記号 で表す．つまり

である．

ゼロベクトルの大きさは とし，その向きは考えないものとする．ゼロベクトルには，数の と同じように次のような性質がある．

注 は実数の（ゼロ）ではないことに気をつけよう．必ず矢印をつけて区別すること．

成分表示された平面ベクトルの加法

右図のような2 つのベクトルを考える．

いま， は右図より となる．つまり

が成立する．

一般に， と の和 は

となる．

また， の逆ベクトルの成分表示は，右図より となり，ゼロベクトルの成分表示は

となる．

問題1ベクトルの加法

が次のように表されているとき， を図示し，成分表示せよ．ただし，1 マスの1 辺の長さは とする．

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1. 

   右図より， について， の増分は の増分は であるので，

2. 

   右図より， について， の増分は の増分は であるので，

3. 

   右図より， について， の増分は の増分は であるので，

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この正六角形の中心を とする．

ベクトルの減法

ベクトルの減法の定義

2 つのベクトル， と に対して， に の逆ベクトルを加えたもの を と書き，これを， から を引いた差という．つまり

いま，右図のように とおくと， は であるから

また， より

が成り立つ．

成分表示された平面ベクトルの減法

2 つのベクトルを， とおくと， となるから

となる．

問題2ベクトルの減法

平行四辺形 の対角線の交点を とし， とする．次のベクトルを を用いて表し，また，成分表示せよ．

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ベクトルの実数倍

ベクトルの実数倍の定義

でない と実数 に対し， の 倍 を次のように定める．

1. 

   のとき

   と同じ向きで，大きさが の 倍のベクトル

2. 

   のとき

   と反対の向きで，大きさが の 倍のベクトル

3. のとき

   と定める．

また， のときは，任意の実数 に対して と定める．

特に， のときは を省略して書く．つまり である． が分数 のとき， を と書くこともある．

ベクトルの実数倍に関する計算法則

問題3ベクトルの和，差，実数倍

右の図のようにベクトル をおくとき，次のベクトルを作図せよ．

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1. 図示すると下図のようになる．

   

2. 図示すると下図のようになる．

   

3. 図示すると下図のようになる．

   

4. 図示すると下図のようになる．

   

単位ベクトル

である に対して，同じ向きの単位ベクトルは， を自分自身の大きさで割った となる．

成分表示された平面ベクトルの実数倍

とおくとき，右図より

となる．

また， だから， と同じ向きの単位ベクトルの成分表示は， となる．

注 反対向きの単位ベクトルの成分表示は − となる．

ベクトルの合成と分解

ベクトルの加法と減法で次の式を学習した．

このように2 つ以上のベクトルを1 つのベクトルで表現することをベクトルの合成という．

またこれらの式を逆にみて

1 つのベクトルを2 つ以上のベクトルで表現することをベクトルの分解という．

では経由点として点 をとっているが，ベクトルの加法の定義を考えると，点 でなくても任意の点でかまわないことがわかる．つまり

として，□には好きな点を経由点としてとってよい．

同様にして，では始点として点 をとっているが，点でなくても任意の点でかまわないことがわかる．

つまり

として，□には好きな点を始点としてとってよい．

問題6ベクトルの加法

正六角形 において，辺 の中点を とし，線分の中点を，辺の中点をとする．このとき， および を， を用いて表せ．

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1. 

   右図より， について， の増分は の増分は であるので，

2. 

   右図より， について， の増分は の増分は であるので，

3. 

   右図より， について， の増分は の増分は であるので，

解答を見る

この正六角形の中心を とする．

ベクトルの平行条件

でない2 つのベクトル と の向きが同じか，または反対であるとき， と は平行であるといい， と表す．

このとき， となる実数が存在する．逆に， のとき， ならば といえる．つまり

となる が存在する

である．

また，成分表示された2 つのベクトル， と が平行であるとき