数学B 第7章 空間ベクトルと空間図形 — 内分点・外分点の位置ベクトル（空間）

空間内での位置ベクトル

空間内での位置ベクトル

空間内でも平面上のときと同様にして、基準とする点Oをあらかじめ定めておくと、任意の点 P の位置は

p =OP

というp によって表すことができる。

このp を、点O に関する点P への位置ベクトルという。また、位置ベクトルがp である点P を、P (p) と表す。

点Oに関して、2 点A, B がそれぞれ、A(a), B(b) であるとき

AB =OB −OA

であるから、AB は

AB = b − a

と表される。

つまり、AB は「終点B の位置ベクトルから、始点A の位置ベクトルを引いた差」に等しい。

空間内での内分点・外分点の位置ベクトル

内分・外分点の位置ベクトル

点Oに関して空間内の2 点A(a), B(b)をとるとき、線分AB を m : nの比に内分する点Pの位置ベクトルp、および m : n（ただし m ≠ n）の比に外分する点Q の位置ベクトルq はa, b, m, nを用いて次のように表すことができる。

p = (na + mb)/(m + n) , q =(−na + mb)/(m – n)

これより、2 点A(ax, ay, az), B(bx, by, bz)を結ぶ線分ABを m : n に内分する点をP、外分する点をQ とすると、点P, Qの座標は次のようになる。

P(nax + mbxm + n,nay + mbym + n,naz + mbzm + n) Q(−nax + mbxm – n,−nay + mbym – n,−naz + mbzm – n)

空間内の三角形の重心

点O に関して空間内の3 点A(a)、B(b)、C(c) をとるとき、△ABC の重心G の位置ベクトルg はa, b, cを用いて次のように表すことができる。

g =(a + b +c)/3

これより、3 点A(ax, ay, az)、B(bx, by, bz)、C(cx, cy, cz) を結んでできる空間内の三角形の重心をGとすると、点Gの座標は次のようになる。

G(ax + bx +cx3,ay + by +cy3,az + bz +cz3)

問題1空間内の三角形の重心

次の図のような平行六面体において、△EDB、△FAC、△CFH、△DGEの重心をそれぞれ、G1, G2, G3, G4 とするとき、この4 点は平行四辺形をなすことを証明せよ。

解答を見る

AB = a、 AD = b、 AE = c とし、位置ベクトルはすべて点A を基準にとることにする。このとき

AC = a + b, AF = a + c AH = b + c, AG = a + b + c

であるから、G1, G2, G3, G4の位置ベクトル、g1, g2, g3, g4 は

g1 = (1/3)a + (1/3)b + (1/3)c （注） 『空間内の三角形の重心』 g2 = (2/3)a + (1/3)b + (1/3)c （注） 『空間内の三角形の重心』 g3 = (2/3)a + (2/3)b + (2/3)c （注） 『空間内の三角形の重心』 g4 = (1/3)a + (2/3)b + (2/3)c （注） 『空間内の三角形の重心』

となり

G1G2 = g2 − g1 = (1/3)a （注）『空間内での位置ベクトル』 G3G4 = g4 − g3 = − (1/3)a （注）『空間内での位置ベクトル』

であるから、 G1G2 = −G3G4 =G4G3 となり、四角形G1G2G3G4 の1組の対辺G1G2 とG4G3 は平行で長さが等しい。よって、この4 点は平行四辺形をなすことがわかる。

問題2内分点・外分点の位置ベクトル

四面体O-ABC で、AB を 1 : 2 に内分する点をM、OCの中点をN、MN を 2 : 3 に内分する点をK、△OBC の重心をG とするとき、3 点A, K, G は同一直線上にあることを示せ。

解答を見る

OA = a, OB = b, OC = c とおくと、

ON = (1/2)c OM = (2/3)a + (1/3)b （注） 空間内での内分点・外分点 の位置ベクトル OG = (1/3)b +(1/3)c （注） 空間内の三角形の重心 OK = (3OM + 2ON)/5 = 1/5 (2a + b +c) （注） 空間内での内分点・外分点 の位置ベクトル AK =OK −OA = 1/5 (−3a + b +c) AG =OG −OA =1/3 (−3a + b +c)

したがって、 AG = (5/3)AK となるので、A, K, Gは一直線上にある。

最終更新: 2026-08-20