数学B 第6章 空間ベクトルの演算 — 空間ベクトルの定義

空間ベクトルとは何か

空間ベクトルの定義

空間内の有向線分AB から，その“位置”を無視して“向き”と“大きさ”だけに着目したものを(空間) ベクトルといい，AB で表すことにする．

空間ベクトルの相等

「平面上のベクトルの相等」と同じように，空間内でも2 つのベクトルAB とCD の“向き”と“大きさ”が等しいとき

AB =CD

と書くことにし，このときAB とCD は等しいということにする．

空間ベクトルの大きさの表し方

空間ベクトルの場合にも，「ベクトルの大きさの表し方」と同様に，AB やa の大きさを，それぞれ

|AB|, |a|

と表す．ここで，|AB| は，(有向) 線分AB の長さに等しい．

空間ベクトルの成分表示

空間ベクトルを成分で表す

「平面ベクトルを成分で表す」と同じように，今度は座標空間内にあるベクトル の成分を用いた表し方についてみていこう．

次の図のように，座標空間内に2 点

A(ax, ay, az)，B(bx, by, bz)

があるとき，AB を

• x の増分: bx − ax
• y の増分: by − ay
• z の増分: bz − az

を用いて， AB = ( bx − ax by − ay bz − az )と表すことにする．

bx − ax の値をx 成分(x-component) ， by − ay の値をy 成分(y-component) ， bz − az の値をz 成分(z-component) という．

成分表示された空間ベクトルの相等

「成分表示された平面ベクトルの相等」は，空間ベクトルの場合にも拡張される．

一般に，2 つの a = ( ax ay az ) ，b = ( bx by bz ) の相等に関して

a = b ⇔ { ax = bx ay = by az = bz .

が成り立つ．

成分表示された空間ベクトルの大きさ

空間ベクトル OP = ( x y z ) の大きさは，線分OPの長さである．いま，この線分の長さを求めてみよう．

O は原点であるから，OP の成分は点P の座標に等しく，P(x, y, z) である．点P から，xy 平面に下ろした垂線の足をHとすると，Hの座標は(x, y, 0)であるから，三平方の定理より

OH² = x² + y²

である．ここで，線分PH の長さは，P とH のz 座標の差の絶対値であるから PH =|z| であり， PH² = z² となる．また，△POH はH を直角とする直角三角形であるから，再び三平方の定理より

OP² = OH² + PH² = x² + y² + z²

となり

OP =√(x² + y² + z²)

と計算できる．

これより，2 点 A(ax, ay, az)，B(bx, by, bz) 間の距離は， AB = ( bx − ax by − ay bz − az ) を用いて

AB =|AB| =√((bx − ax)² + (by − ay)² + (bz − az)²)

と計算できる．

最終更新: 2026-08-12