数学B 第1章 数列の一般項と和 — 数列とは何か

数列の定義

数列とは何か

人にプレゼントを贈るのため，今日から少しずつ貯金をしていく例を考える．今の貯金は 円だとして，毎日貯金してお金をためていく．最初は少額の 円からスタートして，1日ごとに 円ずつ金額を増やしていくことにする．つまり，次のように貯金していく．

1円（初日）、3円（2日目）、5円（3日目）、7円（4日目）、9円（5日目）、11円（6日目）、

この

のように，数字をならべたものを数列(sequence)という．そして，数列の中の数ひとつひとつを，その数列の項(term)という．特に，一番はじめの項のことを初項(first term)といい，2番目の項を第2項，3番目の項を第3項， 番目の項を第 項，一番最後の項を末項(last term)という．

一般的には，数列の各項を

のように，文字に項の番号を右下に添えて書く．また数列全体を と書く．

漸化式とは何か

この数列では， 日目( は自然数とする)に貯金する金額を で表すと

という関係が常に成り立つ(ここで， は初日の金額を表すので， である)．

実際，この式の に や を代入してみると

となり， だから， として確かに2日目の貯金額が導かれる．また， だから， として3日目の貯金額が導かれる．

この のように，ある項 と別のある項 との間に成り立つ関係式のことを，漸化式（ぜんかしき）(recurrence formula)という．

以上をまとめると，この数列は漸化式を用いて次のように表すことが出来る．

数列の一般項

数列の一般項

さきほどの例では，10日目にはいったい何円貯金しなければならないだろうか?

実際に数列を書き並べて

とすれば，19円貯金しなければならないことがわかるが，これでは20日目や50日目の貯金額を知りたいときにかなり面倒である．

そこで，別の見方を考えてみよう．

たとえば，「日にち」と「貯金額」との対応を見たときに， ， ， だから

であることに気がつけば，10日目に貯金しなければならない金額 は

と求めることができる．この方法を使えば，20日目の貯金額 は ， 50日目の貯金額 は と簡単に求めることができる．

さらに， 日目の貯金額 は

と表すことができる．

このように，数列の第 項（ 日目の貯金額）が （ 日目）の式で表されているとき，その第 項を一般項(general term)という．一般項が求まれば， に自然数を順次代入することによって，数列の各項を求めることができる．

数列の和

数列の和

10日に貯金しなければいけない金額はわかった．次に，10日間で貯金できた合計金額を考えてみよう．

初日に1円，2日目に3円，3日目に5円， ，10日目に19円貯金するのだから，金額を順に足していくことにより

となり，ちょうど100円貯金できたことがわかる．

しかし，この考え方では，20日間や50日間で貯金した合計金額を知りたいときに相当面倒である．そこで，別の見方を考えてみよう．

上記のように両端から順にペアを組ませると，ペア同士の和が全て同じ数値「 」になることに気がつけば

と求めることができる．（ペアの個数は，元の項数10の半分となる．）

この方法を使えば， も次のように求めることができる．

さらに， 日間で貯金できた合計金額 は

と表すことができる．

は数列 の一般項という意味もある．

ここで，貯金が1万円になるまでの日数を考えると， という方程式を考えて

より100日間とわかる．つまり，最初1円からスタートしても3ヶ月弱で達成できる．意外と早いものだ．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/142（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08