数学B 第2章漸化式 — 階差型漸化式: $an+1=an+f(n)$

階差型漸化式の解法

次の問題について考えてみよう。

$a1=1,an+1=an+n² (n≧1)$ で定まる数列 ${an}$ の一般項 $an$ を $n$ の式で表せ。

このようなタイプの漸化式は、 $an$ を移項して

$an+1=an+n² \Leftrightarrow an+1-an=n²$

と変形すると、数列 ${an}$ の階差数列 ${bn}$ の一般項が $bn=n²$ として与えられているものだと考えられる。

よって、階差数列の公式を利用してやれば、 $n≧2$ で

$an=a1+Σbk =1+Σk² =1+1/6(n-1)n(2n-1)$

となる。また、この式の右辺の $n$ に1を代入すると、1となり $a1$ に一致するから、この式は $n=1$ でも成立する。

以上から、 $n≧1$ で $an=1+1/6(n-1)n(2n-1)$ となる。

$a1=1,an+1=an+3n²+n (n≧1)$ で定まる数列 ${an}$ の一般項 $an$ を $n$ の式で表せ。

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漸化式 $an+1=an+3n²+n$ を変形すると

$an+1=an+3n²+n \Leftrightarrow an+1-an=3n²+n$

となるので、数列 ${an}$ の階差数列を ${bn}$ とすれば

$bn=an+1-an=3n²+n$

であることがわかる。

ここで、 $n≧2$ のとき

$an=a1+Σbk =1+Σ(3k²+k) =1+3/6(n-1)n(2n-1)+1/2(n-1)n =1+1/2(n-1)n{(2n-1)+1} =1+(n-1)n²$

この式の右辺の $n$ に1を代入すると、1となり、これは $a1$ に一致する。

したがって、求める一般項は

$an=1+(n-1)n²$

$STEP1$

漸化式 $an+1=an+f(n)$ を次のように変形する。

$an+1-an=f(n)$

$STEP2$

このとき、式 $f(n)$ は数列 ${an}$ の階差数列の一般項となっているので、階差数列の公式を用いて、 $n≧2$ のときの $an$ を求める。

$an=a1+Σf(k) (n≧2)$

$STEP3$

$n=1$ での成立を忘れずにチェックして完成。

最終更新: 2026-08-20

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