数学B 第2章漸化式 — 漸化式の基本

漸化式の基本

初項5、公比3の等比数列 ${an}$ の一般項は、第1章で学んだ通り、次のように表される。

$an=5・3^n-1$

この数列を漸化式で表現すると、次のようになる。

$an+1=3an ① a1=5 ②$

ここで逆に、条件 $①,②$ が与えられた数列を考えると、 $②$ より初項が定まり、あとは $①$ に順に $n=1,2,3,\dots$ と代入することにより

$a2=3・ a1=15 a3=3・ a2=45 a4=3・ a3=135\dots$

とただ一通りに数列 ${an}$ が定められる。

このように、数列のある項と別のある項との間に成り立つ関係式のことを、漸化式と定義していた。

次の条件によって定められる数列 ${an}$ の第5項までを書き出せ。

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$a1=1$ 、 $an+1=an+n²$ に $n=1,2,3,4$ を順に代入して $a2=a1+1²=2 a3=a2+2²=6 a4=a3+3²=15 a5=a4+4²=31$ よって、 $1, 2, 6, 15, 31$
$a1=2$ 、 $an+1=3an+2$ より $a2=3・2+2=8 a3=3・8+2=26 a4=3・26+2=80 a5=3・80+2=242$ よって、 $2, 8, 26, 80, 242$
$a1=1$ 、 $an+1=5an+2^n$ より $a2=5・1+2¹=7 a3=5・7+2²=39 a4=5・39+2³=203 a5=5・203+2⁴=1031$ よって、 $1, 7, 39, 203, 1031$
$a1=1$ 、 $an+1=5an+n$ より $a2=5・1+1=6 a3=5・6+2=32 a4=5・32+3=163 a5=5・163+4=819$ よって、 $1, 6, 32, 163, 819$
$a1=2$ 、 $a2=5$ 、 $an+2=5an+1-6an$ より

前の2つの項から次の項が決まる

$a3=5a2-6a1=5・5-6・2=13 a4=5a3-6a2=5・13-6・5=35 a5=5a4-6a3=5・35-6・13=97$ よって、 $2, 5, 13, 35, 97$
$a1=2$ 、 $an+1=(2an+2)/(an+3)$ より $a2=(2・2+2)/(2+3)=6/5 a3=(2・6/5+2)/(6/5+3)=(22/5)/(21/5)=22/21 a4=(2・22/21+2)/(22/21+3)=(86/21)/(85/21)=86/85 a5=(2・86/85+2)/(86/85+3)=(342/85)/(341/85)=342/341$ よって、 $2, 6/5, 22/21, 86/85, 342/341$

実は上記の例題の問題は全て異なるタイプの漸化式となっている。以降では、それらをひとつひとつピックアップして学んでいく。その前に、それぞれの特徴を簡単に説明しておこう。

階差型漸化式

$an+1$ と $an$ の係数が同じであるタイプ。条件式から階差数列 $bn=an+1-an$ の式を導くことができ、階差数列から一般項を求める。これについては階差数列ですでに学んだ。
線形2項間漸化式

$an+1$ と $an$ の係数が異なっており、かつ定数が加えられるタイプ。特性方程式という特殊な方程式を活用し、一般項を求める。
変形階差型漸化式( $r^n$ タイプ)

$an+1$ と $an$ の係数が異なっており、かつ $r^n$ が加えられるタイプ。特性方程式か階差数列を利用して、一般項を求める。
変形階差型漸化式( $n^k$ タイプ)

$an+1$ と $an$ の係数が異なっており、かつ $n^k$ が加えられるタイプ。一般的には階差数列を利用して、一般項を求める。
線形3項間漸化式

$an+2$ と $an+1$ と $an$ の3項による関係式が与えられるタイプ。3項間漸化式の特性方程式を活用し、一般項を求める。
分数型漸化式

分数型となっているタイプ。一般的には分数型漸化式の特性方程式を活用し、一般項を求める。

なお漸化式の基本的な解き方として、等比数列の形に帰着させることを覚えておくと良い。以降では各タイプを具体的にみていくことにする。

最終更新: 2026-09-03

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